Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33904 / 23900
↖ ↑ ↗
← N 43.723475°
E  6.240235°		 ← 441.41 m → N 43.723475°
E  6.245728°		 →
↑
441.45 m
↓
↑
441.45 m
↓
N 43.719505°
E  6.240235°		 ← 441.44 m →
194 864 m²		 N 43.719505°
E  6.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517341613769531 y=0.364692687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517341613769531 × 216)
    floor (0.517341613769531 × 65536)
    floor (33904.5)     		tx = 33904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364692687988281 × 216)
    floor (0.364692687988281 × 65536)
    floor (23900.5)     		ty = 23900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33904 / 23900 ti = "16/33904/23900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33904/23900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33904 ÷ 216
    33904 ÷ 65536     		x = 0.517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23900 ÷ 216
    23900 ÷ 65536     		y = 0.36468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517333984375 × 2 - 1) × π
    0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36468505859375 × 2 - 1) × π
    0.2706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.850208851661316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10891264} λ = 0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850208851661316))-π/2
    2×atan(2.34013554208801)-π/2
    2×1.16695746206381-π/2
    2.33391492412762-1.57079632675     		φ = 0.76311860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76311860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.723475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33904 KachelY 23900 0.10891264 0.76311860 6.240235 43.723475
    Oben rechts KachelX + 1 33905 KachelY 23900 0.10900851 0.76311860 6.245728 43.723475
    Unten links KachelX 33904 KachelY + 1 23901 0.10891264 0.76304931 6.240235 43.719505
    Unten rechts KachelX + 1 33905 KachelY + 1 23901 0.10900851 0.76304931 6.245728 43.719505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76311860-0.76304931) × R
    6.92899999999996e-05 × 6371000     		dl = 441.446589999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76311860-0.76304931) × R
    6.92899999999996e-05 × 6371000     		dr = 441.446589999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10891264-0.10900851) × cos(0.76311860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722684019051131 × 6371000     		do = 441.406560410868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10891264-0.10900851) × cos(0.76304931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722731909079016 × 6371000     		du = 441.435811054205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76311860)-sin(0.76304931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722684019051131-0.722731909079016)×R²
    abs(0.10900851-0.10891264)×4.78900278846339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78900278846339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78900278846339e-05×40589641000000     		ar = 194863.877273373m²