Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33903 / 23620
↖ ↑ ↗
← N 44.824709°
E  6.234741°		 ← 433.26 m → N 44.824709°
E  6.240235°		 →
↑
433.29 m
↓
↑
433.29 m
↓
N 44.820812°
E  6.234741°		 ← 433.29 m →
187 733 m²		 N 44.820812°
E  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517326354980469 y=0.360420227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517326354980469 × 216)
    floor (0.517326354980469 × 65536)
    floor (33903.5)     		tx = 33903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360420227050781 × 216)
    floor (0.360420227050781 × 65536)
    floor (23620.5)     		ty = 23620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33903 / 23620 ti = "16/33903/23620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33903/23620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33903 ÷ 216
    33903 ÷ 65536     		x = 0.517318725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23620 ÷ 216
    23620 ÷ 65536     		y = 0.36041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517318725585938 × 2 - 1) × π
    0.034637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10881676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36041259765625 × 2 - 1) × π
    0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10881676} λ = 0.10881676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877053515448547))-π/2
    2×atan(2.4038064828458)-π/2
    2×1.17656753627461-π/2
    2.35313507254923-1.57079632675     		φ = 0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10881676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33903 KachelY 23620 0.10881676 0.78233875 6.234741 44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 33904 KachelY 23620 0.10891264 0.78233875 6.240235 44.824709
    Unten links KachelX 33903 KachelY + 1 23621 0.10881676 0.78227074 6.234741 44.820812
    Unten rechts KachelX + 1 33904 KachelY + 1 23621 0.10891264 0.78227074 6.240235 44.820812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78233875-0.78227074) × R
    6.80100000000072e-05 × 6371000     		dl = 433.291710000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78233875-0.78227074) × R
    6.80100000000072e-05 × 6371000     		dr = 433.291710000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10881676-0.10891264) × cos(0.78233875) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 433.256674806872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10881676-0.10891264) × cos(0.78227074) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709314741849531 × 6371000     		du = 433.285959844634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78233875)-sin(0.78227074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.709314741849531)×R²
    abs(0.10891264-0.10881676)×4.79413388044803e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79413388044803e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79413388044803e-05×40589641000000     		ar = 187732.870050313m²