Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33903 / 101727
↖ ↑ ↗
← S 69.989595°
W 86.882630°		 ← 104.51 m → S 69.989595°
W 86.879883°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.990535°
W 86.882630°		 ← 104.51 m →
10 920 m²		 S 69.990535°
W 86.879883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258663177490234 y=0.776119232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258663177490234 × 217)
    floor (0.258663177490234 × 131072)
    floor (33903.5)     		tx = 33903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776119232177734 × 217)
    floor (0.776119232177734 × 131072)
    floor (101727.5)     		ty = 101727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33903 / 101727 ti = "17/33903/101727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33903/101727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33903 ÷ 217
    33903 ÷ 131072     		x = 0.258659362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101727 ÷ 217
    101727 ÷ 131072     		y = 0.776115417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258659362792969 × 2 - 1) × π
    -0.482681274414062 × 3.1415926535     		Λ = -1.51638795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776115417480469 × 2 - 1) × π
    -0.552230834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73488433414945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51638795} λ = -1.51638795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73488433414945))-π/2
    2×atan(0.176420604945581)-π/2
    2×0.174623724866349-π/2
    0.349247449732698-1.57079632675     		φ = -1.22154888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51638795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.882630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22154888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.989595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33903 KachelY 101727 -1.51638795 -1.22154888 -86.882630 -69.989595
    Oben rechts KachelX + 1 33904 KachelY 101727 -1.51634001 -1.22154888 -86.879883 -69.989595
    Unten links KachelX 33903 KachelY + 1 101728 -1.51638795 -1.22156528 -86.882630 -69.990535
    Unten rechts KachelX + 1 33904 KachelY + 1 101728 -1.51634001 -1.22156528 -86.879883 -69.990535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22154888--1.22156528) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22154888--1.22156528) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51638795--1.51634001) × cos(-1.22154888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3421907824786 × 6371000     		do = 104.513872959637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51638795--1.51634001) × cos(-1.22156528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342175372492454 × 6371000     		du = 104.509166353215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22154888)-sin(-1.22156528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3421907824786-0.342175372492454)×R²
    abs(-1.51634001--1.51638795)×1.54099861460755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54099861460755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54099861460755e-05×40589641000000     		ar = 10919.823424518m²