Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33903 / 101723
↖ ↑ ↗
← S 69.985836°
W 86.882630°		 ← 104.53 m → S 69.985836°
W 86.879883°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.986775°
W 86.882630°		 ← 104.53 m →
10 922 m²		 S 69.986775°
W 86.879883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258663177490234 y=0.776088714599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258663177490234 × 217)
    floor (0.258663177490234 × 131072)
    floor (33903.5)     		tx = 33903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776088714599609 × 217)
    floor (0.776088714599609 × 131072)
    floor (101723.5)     		ty = 101723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33903 / 101723 ti = "17/33903/101723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33903/101723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33903 ÷ 217
    33903 ÷ 131072     		x = 0.258659362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101723 ÷ 217
    101723 ÷ 131072     		y = 0.776084899902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258659362792969 × 2 - 1) × π
    -0.482681274414062 × 3.1415926535     		Λ = -1.51638795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776084899902344 × 2 - 1) × π
    -0.552169799804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73469258655097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51638795} λ = -1.51638795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73469258655097))-π/2
    2×atan(0.17645443641635)-π/2
    2×0.17465653495261-π/2
    0.34931306990522-1.57079632675     		φ = -1.22148326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51638795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.882630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22148326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.985836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33903 KachelY 101723 -1.51638795 -1.22148326 -86.882630 -69.985836
    Oben rechts KachelX + 1 33904 KachelY 101723 -1.51634001 -1.22148326 -86.879883 -69.985836
    Unten links KachelX 33903 KachelY + 1 101724 -1.51638795 -1.22149966 -86.882630 -69.986775
    Unten rechts KachelX + 1 33904 KachelY + 1 101724 -1.51634001 -1.22149966 -86.879883 -69.986775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22148326--1.22149966) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22148326--1.22149966) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51638795--1.51634001) × cos(-1.22148326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342252440294947 × 6371000     		do = 104.532704843822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51638795--1.51634001) × cos(-1.22149966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		du = 104.527998349882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22148326)-sin(-1.22149966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342252440294947-0.342237030677081)×R²
    abs(-1.51634001--1.51638795)×1.54096178664465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54096178664465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54096178664465e-05×40589641000000     		ar = 10921.7910685801m²