Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33902 / 23894
↖ ↑ ↗
← N 43.747289°
E  6.229248°		 ← 441.23 m → N 43.747289°
E  6.234741°		 →
↑
441.26 m
↓
↑
441.26 m
↓
N 43.743321°
E  6.229248°		 ← 441.26 m →
194 702 m²		 N 43.743321°
E  6.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517311096191406 y=0.364601135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517311096191406 × 216)
    floor (0.517311096191406 × 65536)
    floor (33902.5)     		tx = 33902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364601135253906 × 216)
    floor (0.364601135253906 × 65536)
    floor (23894.5)     		ty = 23894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33902 / 23894 ti = "16/33902/23894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33902/23894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33902 ÷ 216
    33902 ÷ 65536     		x = 0.517303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23894 ÷ 216
    23894 ÷ 65536     		y = 0.364593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517303466796875 × 2 - 1) × π
    0.03460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10872089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364593505859375 × 2 - 1) × π
    0.27081298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.850784094456757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10872089} λ = 0.10872089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850784094456757))-π/2
    2×atan(2.34148207545363)-π/2
    2×1.16716528012953-π/2
    2.33433056025905-1.57079632675     		φ = 0.76353423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10872089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76353423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.747289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33902 KachelY 23894 0.10872089 0.76353423 6.229248 43.747289
    Oben rechts KachelX + 1 33903 KachelY 23894 0.10881676 0.76353423 6.234741 43.747289
    Unten links KachelX 33902 KachelY + 1 23895 0.10872089 0.76346497 6.229248 43.743321
    Unten rechts KachelX + 1 33903 KachelY + 1 23895 0.10881676 0.76346497 6.234741 43.743321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76353423-0.76346497) × R
    6.92599999999599e-05 × 6371000     		dl = 441.255459999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76353423-0.76346497) × R
    6.92599999999599e-05 × 6371000     		dr = 441.255459999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10872089-0.10881676) × cos(0.76353423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722396682091248 × 6371000     		do = 441.231058509903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10872089-0.10881676) × cos(0.76346497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722444572185399 × 6371000     		du = 441.260309193714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76353423)-sin(0.76346497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722396682091248-0.722444572185399)×R²
    abs(0.10881676-0.10872089)×4.78900941512928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78900941512928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78900941512928e-05×40589641000000     		ar = 194702.067278612m²