Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33901 / 23884
↖ ↑ ↗
← N 43.786958°
E  6.223755°		 ← 440.98 m → N 43.786958°
E  6.229248°		 →
↑
440.94 m
↓
↑
440.94 m
↓
N 43.782993°
E  6.223755°		 ← 441.01 m →
194 453 m²		 N 43.782993°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517295837402344 y=0.364448547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517295837402344 × 216)
    floor (0.517295837402344 × 65536)
    floor (33901.5)     		tx = 33901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364448547363281 × 216)
    floor (0.364448547363281 × 65536)
    floor (23884.5)     		ty = 23884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33901 / 23884 ti = "16/33901/23884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33901/23884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33901 ÷ 216
    33901 ÷ 65536     		x = 0.517288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23884 ÷ 216
    23884 ÷ 65536     		y = 0.36444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517288208007812 × 2 - 1) × π
    0.034576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10862501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851742832449158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10862501} λ = 0.10862501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851742832449158))-π/2
    2×atan(2.34372801974191)-π/2
    2×1.16751145991094-π/2
    2.33502291982189-1.57079632675     		φ = 0.76422659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10862501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76422659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.786958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33901 KachelY 23884 0.10862501 0.76422659 6.223755 43.786958
    Oben rechts KachelX + 1 33902 KachelY 23884 0.10872089 0.76422659 6.229248 43.786958
    Unten links KachelX 33901 KachelY + 1 23885 0.10862501 0.76415738 6.223755 43.782993
    Unten rechts KachelX + 1 33902 KachelY + 1 23885 0.10872089 0.76415738 6.229248 43.782993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76422659-0.76415738) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dl = 440.936910000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76422659-0.76415738) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dr = 440.936910000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10862501-0.10872089) × cos(0.76422659) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.721917756671151 × 6371000     		do = 440.984530100882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10862501-0.10872089) × cos(0.76415738) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.721965646799507 × 6371000     		du = 441.013783856666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76422659)-sin(0.76415738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721917756671151-0.721965646799507)×R²
    abs(0.10872089-0.10862501)×4.7890128356598e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.7890128356598e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.7890128356598e-05×40589641000000     		ar = 194452.805668645m²