Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33901 / 23878
↖ ↑ ↗
← N 43.810747°
E  6.223755°		 ← 440.81 m → N 43.810747°
E  6.229248°		 →
↑
440.81 m
↓
↑
440.81 m
↓
N 43.806783°
E  6.223755°		 ← 440.84 m →
194 319 m²		 N 43.806783°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517295837402344 y=0.364356994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517295837402344 × 216)
    floor (0.517295837402344 × 65536)
    floor (33901.5)     		tx = 33901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364356994628906 × 216)
    floor (0.364356994628906 × 65536)
    floor (23878.5)     		ty = 23878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33901 / 23878 ti = "16/33901/23878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33901/23878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33901 ÷ 216
    33901 ÷ 65536     		x = 0.517288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23878 ÷ 216
    23878 ÷ 65536     		y = 0.364349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517288208007812 × 2 - 1) × π
    0.034576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10862501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364349365234375 × 2 - 1) × π
    0.27130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.852318075244598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10862501} λ = 0.10862501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852318075244598))-π/2
    2×atan(2.34507662024892)-π/2
    2×1.16771905757811-π/2
    2.33543811515623-1.57079632675     		φ = 0.76464179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10862501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76464179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.810747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33901 KachelY 23878 0.10862501 0.76464179 6.223755 43.810747
    Oben rechts KachelX + 1 33902 KachelY 23878 0.10872089 0.76464179 6.229248 43.810747
    Unten links KachelX 33901 KachelY + 1 23879 0.10862501 0.76457260 6.223755 43.806783
    Unten rechts KachelX + 1 33902 KachelY + 1 23879 0.10872089 0.76457260 6.229248 43.806783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76464179-0.76457260) × R
    6.91899999999412e-05 × 6371000     		dl = 440.809489999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76464179-0.76457260) × R
    6.91899999999412e-05 × 6371000     		dr = 440.809489999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10862501-0.10872089) × cos(0.76464179) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.721630384827683 × 6371000     		do = 440.80898858499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10862501-0.10872089) × cos(0.76457260) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.72167828185305 × 6371000     		du = 440.838246553823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76464179)-sin(0.76457260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721630384827683-0.72167828185305)×R²
    abs(0.10872089-0.10862501)×4.78970253667832e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.78970253667832e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.78970253667832e-05×40589641000000     		ar = 194319.234118244m²