Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33901 / 23867
↖ ↑ ↗
← N 43.854336°
E  6.223755°		 ← 440.49 m → N 43.854336°
E  6.229248°		 →
↑
440.49 m
↓
↑
440.49 m
↓
N 43.850374°
E  6.223755°		 ← 440.52 m →
194 037 m²		 N 43.850374°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517295837402344 y=0.364189147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517295837402344 × 216)
    floor (0.517295837402344 × 65536)
    floor (33901.5)     		tx = 33901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364189147949219 × 216)
    floor (0.364189147949219 × 65536)
    floor (23867.5)     		ty = 23867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33901 / 23867 ti = "16/33901/23867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33901/23867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33901 ÷ 216
    33901 ÷ 65536     		x = 0.517288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23867 ÷ 216
    23867 ÷ 65536     		y = 0.364181518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517288208007812 × 2 - 1) × π
    0.034576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10862501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364181518554688 × 2 - 1) × π
    0.271636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.85337268703624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10862501} λ = 0.10862501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85337268703624))-π/2
    2×atan(2.34755107026768)-π/2
    2×1.16809943862636-π/2
    2.33619887725271-1.57079632675     		φ = 0.76540255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10862501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76540255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.854336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33901 KachelY 23867 0.10862501 0.76540255 6.223755 43.854336
    Oben rechts KachelX + 1 33902 KachelY 23867 0.10872089 0.76540255 6.229248 43.854336
    Unten links KachelX 33901 KachelY + 1 23868 0.10862501 0.76533341 6.223755 43.850374
    Unten rechts KachelX + 1 33902 KachelY + 1 23868 0.10872089 0.76533341 6.229248 43.850374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76540255-0.76533341) × R
    6.91400000000231e-05 × 6371000     		dl = 440.490940000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76540255-0.76533341) × R
    6.91400000000231e-05 × 6371000     		dr = 440.490940000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10862501-0.10872089) × cos(0.76540255) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.721103518226621 × 6371000     		do = 440.487151341968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10862501-0.10872089) × cos(0.76533341) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.721151418584958 × 6371000     		du = 440.516411346751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76540255)-sin(0.76533341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721103518226621-0.721151418584958)×R²
    abs(0.10872089-0.10862501)×4.79003583377935e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79003583377935e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79003583377935e-05×40589641000000     		ar = 194037.043813265m²