Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33900 / 23891
↖ ↑ ↗
← N 43.759193°
E  6.218262°		 ← 441.14 m → N 43.759193°
E  6.223755°		 →
↑
441.19 m
↓
↑
441.19 m
↓
N 43.755225°
E  6.218262°		 ← 441.17 m →
194 635 m²		 N 43.755225°
E  6.223755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517280578613281 y=0.364555358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517280578613281 × 216)
    floor (0.517280578613281 × 65536)
    floor (33900.5)     		tx = 33900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364555358886719 × 216)
    floor (0.364555358886719 × 65536)
    floor (23891.5)     		ty = 23891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33900 / 23891 ti = "16/33900/23891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33900/23891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33900 ÷ 216
    33900 ÷ 65536     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23891 ÷ 216
    23891 ÷ 65536     		y = 0.364547729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364547729492188 × 2 - 1) × π
    0.270904541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851071715854477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851071715854477))-π/2
    2×atan(2.34215563266099)-π/2
    2×1.16726915816995-π/2
    2.3345383163399-1.57079632675     		φ = 0.76374199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76374199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.759193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33900 KachelY 23891 0.10852914 0.76374199 6.218262 43.759193
    Oben rechts KachelX + 1 33901 KachelY 23891 0.10862501 0.76374199 6.223755 43.759193
    Unten links KachelX 33900 KachelY + 1 23892 0.10852914 0.76367274 6.218262 43.755225
    Unten rechts KachelX + 1 33901 KachelY + 1 23892 0.10862501 0.76367274 6.223755 43.755225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76374199-0.76367274) × R
    6.92500000000207e-05 × 6371000     		dl = 441.191750000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76374199-0.76367274) × R
    6.92500000000207e-05 × 6371000     		dr = 441.191750000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10862501) × cos(0.76374199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722253004850498 × 6371000     		do = 441.143302208425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10862501) × cos(0.76367274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722300898423067 × 6371000     		du = 441.172555016812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76374199)-sin(0.76367274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722253004850498-0.722300898423067)×R²
    abs(0.10862501-0.10852914)×4.78935725692908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78935725692908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78935725692908e-05×40589641000000     		ar = 194635.23862892m²