Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33900 / 23888
↖ ↑ ↗
← N 43.771094°
E  6.218262°		 ← 441.06 m → N 43.771094°
E  6.223755°		 →
↑
441.06 m
↓
↑
441.06 m
↓
N 43.767127°
E  6.218262°		 ← 441.08 m →
194 540 m²		 N 43.767127°
E  6.223755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517280578613281 y=0.364509582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517280578613281 × 216)
    floor (0.517280578613281 × 65536)
    floor (33900.5)     		tx = 33900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364509582519531 × 216)
    floor (0.364509582519531 × 65536)
    floor (23888.5)     		ty = 23888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33900 / 23888 ti = "16/33900/23888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33900/23888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33900 ÷ 216
    33900 ÷ 65536     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23888 ÷ 216
    23888 ÷ 65536     		y = 0.364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851359337252197))-π/2
    2×atan(2.34282938362569)-π/2
    2×1.16737301554826-π/2
    2.33474603109651-1.57079632675     		φ = 0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33900 KachelY 23888 0.10852914 0.76394970 6.218262 43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 33901 KachelY 23888 0.10862501 0.76394970 6.223755 43.771094
    Unten links KachelX 33900 KachelY + 1 23889 0.10852914 0.76388047 6.218262 43.767127
    Unten rechts KachelX + 1 33901 KachelY + 1 23889 0.10862501 0.76388047 6.223755 43.767127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76394970-0.76388047) × R
    6.92299999999202e-05 × 6371000     		dl = 441.064329999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76394970-0.76388047) × R
    6.92299999999202e-05 × 6371000     		dr = 441.064329999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10862501) × cos(0.76394970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 441.055547991849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10862501) × cos(0.76388047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72215722114934 × 6371000     		du = 441.084798695192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76394970)-sin(0.76388047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.72215722114934)×R²
    abs(0.10862501-0.10852914)×4.78901261292686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78901261292686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78901261292686e-05×40589641000000     		ar = 194540.320566338m²