Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3390 / 3177
↖ ↑ ↗
← S 69.930300°
E117.949219°		 ← 3 353.73 m → S 69.930300°
E118.037109°		 →
↑
3 351.34 m
↓
↑
3 351.34 m
↓
S 69.960439°
E117.949219°		 ← 3 348.90 m →
11 231 380 m²		 S 69.960439°
E118.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8277587890625 y=0.7757568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8277587890625 × 212)
    floor (0.8277587890625 × 4096)
    floor (3390.5)     		tx = 3390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7757568359375 × 212)
    floor (0.7757568359375 × 4096)
    floor (3177.5)     		ty = 3177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3390 / 3177 ti = "12/3390/3177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3390/3177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3390 ÷ 212
    3390 ÷ 4096     		x = 0.82763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3177 ÷ 212
    3177 ÷ 4096     		y = 0.775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82763671875 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05860222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05860222} λ = 2.05860222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73186430947339))-π/2
    2×atan(0.176954204862781)-π/2
    2×0.175141170914831-π/2
    0.350282341829662-1.57079632675     		φ = -1.22051398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05860222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22051398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3390 KachelY 3177 2.05860222 -1.22051398 117.949219 -69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 3391 KachelY 3177 2.06013620 -1.22051398 118.037109 -69.930300
    Unten links KachelX 3390 KachelY + 1 3178 2.05860222 -1.22104001 117.949219 -69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 3391 KachelY + 1 3178 2.06013620 -1.22104001 118.037109 -69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22051398--1.22104001) × R
    0.000526030000000066 × 6371000     		dl = 3351.33713000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22051398--1.22104001) × R
    0.000526030000000066 × 6371000     		dr = 3351.33713000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05860222-2.06013620) × cos(-1.22051398) × R
    0.00153398000000005 × 0.343163022658756 × 6371000     		do = 3353.72761519636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05860222-2.06013620) × cos(-1.22104001) × R
    0.00153398000000005 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 3348.89844305872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22051398)-sin(-1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163022658756-0.34266888792337)×R²
    abs(2.06013620-2.05860222)×0.000494134735386231×R²
    0.00153398000000005×0.000494134735386231×6371000²
    0.00153398000000005×0.000494134735386231×40589641000000     		ar = 11231380.0477528m²