Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 339 / 732
↖ ↑ ↗
← S 60.930432°
W 60.820313°		 ← 18.994 km → S 60.930432°
W 60.468750°		 →
↑
18.943 km
↓
↑
18.943 km
↓
S 61.100789°
W 60.820313°		 ← 18.892 km →
358.830 km²		 S 61.100789°
W 60.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33154296875 y=0.71533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33154296875 × 210)
    floor (0.33154296875 × 1024)
    floor (339.5)     		tx = 339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71533203125 × 210)
    floor (0.71533203125 × 1024)
    floor (732.5)     		ty = 732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 339 / 732 ti = "10/339/732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/339/732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 339 ÷ 210
    339 ÷ 1024     		x = 0.3310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 732 ÷ 210
    732 ÷ 1024     		y = 0.71484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3310546875 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.06151471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71484375 × 2 - 1) × π
    -0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06151471} λ = -1.06151471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34990309330078))-π/2
    2×atan(0.259265383981145)-π/2
    2×0.253679835104725-π/2
    0.507359670209449-1.57079632675     		φ = -1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06151471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 339 KachelY 732 -1.06151471 -1.06343666 -60.820313 -60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 340 KachelY 732 -1.05537878 -1.06343666 -60.468750 -60.930432
    Unten links KachelX 339 KachelY + 1 733 -1.06151471 -1.06640994 -60.820313 -61.100789
    Unten rechts KachelX + 1 340 KachelY + 1 733 -1.05537878 -1.06640994 -60.468750 -61.100789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06343666--1.06640994) × R
    0.00297327999999997 × 6371000     		dl = 18942.7668799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06343666--1.06640994) × R
    0.00297327999999997 × 6371000     		dr = 18942.7668799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06151471--1.05537878) × cos(-1.06343666) × R
    0.0061359299999999 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 18993.6822782752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06151471--1.05537878) × cos(-1.06640994) × R
    0.0061359299999999 × 0.483270330661515 × 6371000     		du = 18892.008613421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06343666)-sin(-1.06640994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.483270330661515)×R²
    abs(-1.05537878--1.06151471)×0.00260088096713657×R²
    0.0061359299999999×0.00260088096713657×6371000²
    0.0061359299999999×0.00260088096713657×40589641000000     		ar = 358830169.674623m²