Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33898 / 34806
↖ ↑ ↗
← S 11.124507°
E  6.207275°		 ← 599.37 m → S 11.124507°
E  6.212769°		 →
↑
599.32 m
↓
↑
599.32 m
↓
S 11.129897°
E  6.207275°		 ← 599.36 m →
359 213 m²		 S 11.129897°
E  6.212769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517250061035156 y=0.531105041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517250061035156 × 216)
    floor (0.517250061035156 × 65536)
    floor (33898.5)     		tx = 33898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531105041503906 × 216)
    floor (0.531105041503906 × 65536)
    floor (34806.5)     		ty = 34806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33898 / 34806 ti = "16/33898/34806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33898/34806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33898 ÷ 216
    33898 ÷ 65536     		x = 0.517242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34806 ÷ 216
    34806 ÷ 65536     		y = 0.531097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517242431640625 × 2 - 1) × π
    0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.06219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.195390802851349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10833739} λ = 0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195390802851349))-π/2
    2×atan(0.822513154751757)-π/2
    2×0.688318522687031-π/2
    1.37663704537406-1.57079632675     		φ = -0.19415928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19415928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.124507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33898 KachelY 34806 0.10833739 -0.19415928 6.207275 -11.124507
    Oben rechts KachelX + 1 33899 KachelY 34806 0.10843327 -0.19415928 6.212769 -11.124507
    Unten links KachelX 33898 KachelY + 1 34807 0.10833739 -0.19425335 6.207275 -11.129897
    Unten rechts KachelX + 1 33899 KachelY + 1 34807 0.10843327 -0.19425335 6.212769 -11.129897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19415928--0.19425335) × R
    9.40700000000017e-05 × 6371000     		dl = 599.31997000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19415928--0.19425335) × R
    9.40700000000017e-05 × 6371000     		dr = 599.31997000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10833739-0.10843327) × cos(-0.19415928) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981210226224471 × 6371000     		do = 599.373718880307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10833739-0.10843327) × cos(-0.19425335) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981192071859198 × 6371000     		du = 599.362629259411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19415928)-sin(-0.19425335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981210226224471-0.981192071859198)×R²
    abs(0.10843327-0.10833739)×1.81543652737481e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.81543652737481e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.81543652737481e-05×40589641000000     		ar = 359213.316367363m²