Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33897 / 36137
↖ ↑ ↗
← S 18.192825°
E  6.201782°		 ← 580.26 m → S 18.192825°
E  6.207275°		 →
↑
580.27 m
↓
↑
580.27 m
↓
S 18.198044°
E  6.201782°		 ← 580.24 m →
336 700 m²		 S 18.198044°
E  6.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517234802246094 y=0.551414489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517234802246094 × 216)
    floor (0.517234802246094 × 65536)
    floor (33897.5)     		tx = 33897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551414489746094 × 216)
    floor (0.551414489746094 × 65536)
    floor (36137.5)     		ty = 36137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33897 / 36137 ti = "16/33897/36137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33897/36137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33897 ÷ 216
    33897 ÷ 65536     		x = 0.517227172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36137 ÷ 216
    36137 ÷ 65536     		y = 0.551406860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517227172851562 × 2 - 1) × π
    0.034454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10824152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551406860351562 × 2 - 1) × π
    -0.102813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.322998829639938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10824152} λ = 0.10824152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322998829639938))-π/2
    2×atan(0.723974701678496)-π/2
    2×0.626635813431717-π/2
    1.25327162686343-1.57079632675     		φ = -0.31752470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10824152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31752470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.192825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33897 KachelY 36137 0.10824152 -0.31752470 6.201782 -18.192825
    Oben rechts KachelX + 1 33898 KachelY 36137 0.10833739 -0.31752470 6.207275 -18.192825
    Unten links KachelX 33897 KachelY + 1 36138 0.10824152 -0.31761578 6.201782 -18.198044
    Unten rechts KachelX + 1 33898 KachelY + 1 36138 0.10833739 -0.31761578 6.207275 -18.198044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31752470--0.31761578) × R
    9.10800000000211e-05 × 6371000     		dl = 580.270680000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31752470--0.31761578) × R
    9.10800000000211e-05 × 6371000     		dr = 580.270680000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10824152-0.10833739) × cos(-0.31752470) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.950011155861323 × 6371000     		do = 580.255195363731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10824152-0.10833739) × cos(-0.31761578) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.949982715291568 × 6371000     		du = 580.237824211553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31752470)-sin(-0.31761578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950011155861323-0.949982715291568)×R²
    abs(0.10833739-0.10824152)×2.84405697548173e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.84405697548173e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.84405697548173e-05×40589641000000     		ar = 336700.03703493m²