Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33897 / 23641
↖ ↑ ↗
← N 44.742832°
E  6.201782°		 ← 433.83 m → N 44.742832°
E  6.207275°		 →
↑
433.87 m
↓
↑
433.87 m
↓
N 44.738930°
E  6.201782°		 ← 433.86 m →
188 228 m²		 N 44.738930°
E  6.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517234802246094 y=0.360740661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517234802246094 × 216)
    floor (0.517234802246094 × 65536)
    floor (33897.5)     		tx = 33897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360740661621094 × 216)
    floor (0.360740661621094 × 65536)
    floor (23641.5)     		ty = 23641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33897 / 23641 ti = "16/33897/23641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33897/23641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33897 ÷ 216
    33897 ÷ 65536     		x = 0.517227172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23641 ÷ 216
    23641 ÷ 65536     		y = 0.360733032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517227172851562 × 2 - 1) × π
    0.034454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10824152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360733032226562 × 2 - 1) × π
    0.278533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.875040165664505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10824152} λ = 0.10824152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875040165664505))-π/2
    2×atan(2.3989716483224)-π/2
    2×1.1758530285074-π/2
    2.35170605701479-1.57079632675     		φ = 0.78090973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10824152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78090973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.742832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33897 KachelY 23641 0.10824152 0.78090973 6.201782 44.742832
    Oben rechts KachelX + 1 33898 KachelY 23641 0.10833739 0.78090973 6.207275 44.742832
    Unten links KachelX 33897 KachelY + 1 23642 0.10824152 0.78084163 6.201782 44.738930
    Unten rechts KachelX + 1 33898 KachelY + 1 23642 0.10833739 0.78084163 6.207275 44.738930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78090973-0.78084163) × R
    6.81000000000154e-05 × 6371000     		dl = 433.865100000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78090973-0.78084163) × R
    6.81000000000154e-05 × 6371000     		dr = 433.865100000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10824152-0.10833739) × cos(0.78090973) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.710273449535413 × 6371000     		do = 433.826336331996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10824152-0.10833739) × cos(0.78084163) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.710321385239965 × 6371000     		du = 433.855614874083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78090973)-sin(0.78084163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710273449535413-0.710321385239965)×R²
    abs(0.10833739-0.10824152)×4.79357045516382e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79357045516382e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79357045516382e-05×40589641000000     		ar = 188228.458336908m²