Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33893 / 34338
↖ ↑ ↗
← S  8.591884°
E  6.179809°		 ← 604 m → S  8.591884°
E  6.185303°		 →
↑
603.97 m
↓
↑
603.97 m
↓
S  8.597316°
E  6.179809°		 ← 603.99 m →
364 793 m²		 S  8.597316°
E  6.185303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517173767089844 y=0.523963928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517173767089844 × 216)
    floor (0.517173767089844 × 65536)
    floor (33893.5)     		tx = 33893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523963928222656 × 216)
    floor (0.523963928222656 × 65536)
    floor (34338.5)     		ty = 34338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33893 / 34338 ti = "16/33893/34338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33893/34338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33893 ÷ 216
    33893 ÷ 65536     		x = 0.517166137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34338 ÷ 216
    34338 ÷ 65536     		y = 0.523956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517166137695312 × 2 - 1) × π
    0.034332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10785802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523956298828125 × 2 - 1) × π
    -0.04791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10785802} λ = 0.10785802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150521864806976))-π/2
    2×atan(0.860258920406535)-π/2
    2×0.710419827483608-π/2
    1.42083965496722-1.57079632675     		φ = -0.14995667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10785802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.179809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14995667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.591884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33893 KachelY 34338 0.10785802 -0.14995667 6.179809 -8.591884
    Oben rechts KachelX + 1 33894 KachelY 34338 0.10795390 -0.14995667 6.185303 -8.591884
    Unten links KachelX 33893 KachelY + 1 34339 0.10785802 -0.15005147 6.179809 -8.597316
    Unten rechts KachelX + 1 33894 KachelY + 1 34339 0.10795390 -0.15005147 6.185303 -8.597316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14995667--0.15005147) × R
    9.4800000000006e-05 × 6371000     		dl = 603.970800000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14995667--0.15005147) × R
    9.4800000000006e-05 × 6371000     		dr = 603.970800000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10785802-0.10795390) × cos(-0.14995667) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.988777552162117 × 6371000     		do = 603.996231129047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10785802-0.10795390) × cos(-0.15005147) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.98876338504566 × 6371000     		du = 603.987577124993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14995667)-sin(-0.15005147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988777552162117-0.98876338504566)×R²
    abs(0.10795390-0.10785802)×1.41671164565205e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.41671164565205e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.41671164565205e-05×40589641000000     		ar = 364793.473802314m²