Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33892 / 34339
↖ ↑ ↗
← S  8.597316°
E  6.174316°		 ← 603.92 m → S  8.597316°
E  6.179809°		 →
↑
603.91 m
↓
↑
603.91 m
↓
S  8.602747°
E  6.174316°		 ← 603.92 m →
364 712 m²		 S  8.602747°
E  6.179809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517158508300781 y=0.523979187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517158508300781 × 216)
    floor (0.517158508300781 × 65536)
    floor (33892.5)     		tx = 33892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523979187011719 × 216)
    floor (0.523979187011719 × 65536)
    floor (34339.5)     		ty = 34339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33892 / 34339 ti = "16/33892/34339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33892/34339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33892 ÷ 216
    33892 ÷ 65536     		x = 0.51715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34339 ÷ 216
    34339 ÷ 65536     		y = 0.523971557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51715087890625 × 2 - 1) × π
    0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523971557617188 × 2 - 1) × π
    -0.047943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.150617738606216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10776215} λ = 0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150617738606216))-π/2
    2×atan(0.860176448069037)-π/2
    2×0.710372428892875-π/2
    1.42074485778575-1.57079632675     		φ = -0.15005147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15005147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.597316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33892 KachelY 34339 0.10776215 -0.15005147 6.174316 -8.597316
    Oben rechts KachelX + 1 33893 KachelY 34339 0.10785802 -0.15005147 6.179809 -8.597316
    Unten links KachelX 33892 KachelY + 1 34340 0.10776215 -0.15014626 6.174316 -8.602747
    Unten rechts KachelX + 1 33893 KachelY + 1 34340 0.10785802 -0.15014626 6.179809 -8.602747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15005147--0.15014626) × R
    9.47900000000113e-05 × 6371000     		dl = 603.907090000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15005147--0.15014626) × R
    9.47900000000113e-05 × 6371000     		dr = 603.907090000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10776215-0.10785802) × cos(-0.15005147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98876338504566 × 6371000     		do = 603.924583009677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10776215-0.10785802) × cos(-0.15014626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988749210538975 × 6371000     		du = 603.915925394348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15005147)-sin(-0.15014626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98876338504566-0.988749210538975)×R²
    abs(0.10785802-0.10776215)×1.41745066850607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41745066850607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41745066850607e-05×40589641000000     		ar = 364711.723580362m²