Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33892 / 23459
↖ ↑ ↗
← N 45.448571°
E  6.174316°		 ← 428.50 m → N 45.448571°
E  6.179809°		 →
↑
428.51 m
↓
↑
428.51 m
↓
N 45.444717°
E  6.174316°		 ← 428.53 m →
183 623 m²		 N 45.444717°
E  6.179809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517158508300781 y=0.357963562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517158508300781 × 216)
    floor (0.517158508300781 × 65536)
    floor (33892.5)     		tx = 33892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357963562011719 × 216)
    floor (0.357963562011719 × 65536)
    floor (23459.5)     		ty = 23459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33892 / 23459 ti = "16/33892/23459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33892/23459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33892 ÷ 216
    33892 ÷ 65536     		x = 0.51715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23459 ÷ 216
    23459 ÷ 65536     		y = 0.357955932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51715087890625 × 2 - 1) × π
    0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357955932617188 × 2 - 1) × π
    0.284088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.892489197126205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10776215} λ = 0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892489197126205))-π/2
    2×atan(2.44119871943959)-π/2
    2×1.18201176245594-π/2
    2.36402352491187-1.57079632675     		φ = 0.79322720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79322720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.448571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33892 KachelY 23459 0.10776215 0.79322720 6.174316 45.448571
    Oben rechts KachelX + 1 33893 KachelY 23459 0.10785802 0.79322720 6.179809 45.448571
    Unten links KachelX 33892 KachelY + 1 23460 0.10776215 0.79315994 6.174316 45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 33893 KachelY + 1 23460 0.10785802 0.79315994 6.179809 45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79322720-0.79315994) × R
    6.72600000000134e-05 × 6371000     		dl = 428.513460000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79322720-0.79315994) × R
    6.72600000000134e-05 × 6371000     		dr = 428.513460000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10776215-0.10785802) × cos(0.79322720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701549202342836 × 6371000     		do = 428.49767284425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10776215-0.10785802) × cos(0.79315994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 428.526947476242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79322720)-sin(0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701549202342836-0.701597131645665)×R²
    abs(0.10785802-0.10776215)×4.79293028284866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79293028284866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79293028284866e-05×40589641000000     		ar = 183623.292748966m²