Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33891 / 23653
↖ ↑ ↗
← N 44.695993°
E  6.168823°		 ← 434.18 m → N 44.695993°
E  6.174316°		 →
↑
434.18 m
↓
↑
434.18 m
↓
N 44.692088°
E  6.168823°		 ← 434.21 m →
188 519 m²		 N 44.692088°
E  6.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517143249511719 y=0.360923767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517143249511719 × 216)
    floor (0.517143249511719 × 65536)
    floor (33891.5)     		tx = 33891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360923767089844 × 216)
    floor (0.360923767089844 × 65536)
    floor (23653.5)     		ty = 23653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33891 / 23653 ti = "16/33891/23653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33891/23653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33891 ÷ 216
    33891 ÷ 65536     		x = 0.517135620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23653 ÷ 216
    23653 ÷ 65536     		y = 0.360916137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517135620117188 × 2 - 1) × π
    0.034271240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10766628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360916137695312 × 2 - 1) × π
    0.278167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.873889680073624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10766628} λ = 0.10766628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873889680073624))-π/2
    2×atan(2.39621325305933)-π/2
    2×1.17544428337822-π/2
    2.35088856675645-1.57079632675     		φ = 0.78009224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10766628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.168823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78009224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.695993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33891 KachelY 23653 0.10766628 0.78009224 6.168823 44.695993
    Oben rechts KachelX + 1 33892 KachelY 23653 0.10776215 0.78009224 6.174316 44.695993
    Unten links KachelX 33891 KachelY + 1 23654 0.10766628 0.78002409 6.168823 44.692088
    Unten rechts KachelX + 1 33892 KachelY + 1 23654 0.10776215 0.78002409 6.174316 44.692088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78009224-0.78002409) × R
    6.81500000000446e-05 × 6371000     		dl = 434.183650000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78009224-0.78002409) × R
    6.81500000000446e-05 × 6371000     		dr = 434.183650000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10766628-0.10776215) × cos(0.78009224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710848664494439 × 6371000     		do = 434.177670594027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10766628-0.10776215) × cos(0.78002409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710896595804789 × 6371000     		du = 434.206946452189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78009224)-sin(0.78002409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710848664494439-0.710896595804789)×R²
    abs(0.10776215-0.10766628)×4.7931310350191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7931310350191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7931310350191e-05×40589641000000     		ar = 188519.20138966m²