Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33891 / 22521
↖ ↑ ↗
← N 48.947759°
E  6.168823°		 ← 401.13 m → N 48.947759°
E  6.174316°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
N 48.944151°
E  6.168823°		 ← 401.16 m →
160 933 m²		 N 48.944151°
E  6.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517143249511719 y=0.343650817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517143249511719 × 216)
    floor (0.517143249511719 × 65536)
    floor (33891.5)     		tx = 33891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343650817871094 × 216)
    floor (0.343650817871094 × 65536)
    floor (22521.5)     		ty = 22521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33891 / 22521 ti = "16/33891/22521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33891/22521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33891 ÷ 216
    33891 ÷ 65536     		x = 0.517135620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22521 ÷ 216
    22521 ÷ 65536     		y = 0.343643188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517135620117188 × 2 - 1) × π
    0.034271240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10766628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343643188476562 × 2 - 1) × π
    0.312713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.982418820813431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10766628} λ = 0.10766628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982418820813431))-π/2
    2×atan(2.67090888489138)-π/2
    2×1.21254794125106-π/2
    2.42509588250213-1.57079632675     		φ = 0.85429956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10766628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.168823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85429956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.947759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33891 KachelY 22521 0.10766628 0.85429956 6.168823 48.947759
    Oben rechts KachelX + 1 33892 KachelY 22521 0.10776215 0.85429956 6.174316 48.947759
    Unten links KachelX 33891 KachelY + 1 22522 0.10766628 0.85423659 6.168823 48.944151
    Unten rechts KachelX + 1 33892 KachelY + 1 22522 0.10776215 0.85423659 6.174316 48.944151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85429956-0.85423659) × R
    6.29699999999955e-05 × 6371000     		dl = 401.181869999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85429956-0.85423659) × R
    6.29699999999955e-05 × 6371000     		dr = 401.181869999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10766628-0.10776215) × cos(0.85429956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		do = 401.132962517089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10766628-0.10776215) × cos(0.85423659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656794365445566 × 6371000     		du = 401.161965819053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85429956)-sin(0.85423659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656746880372372-0.656794365445566)×R²
    abs(0.10776215-0.10766628)×4.74850731934096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74850731934096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74850731934096e-05×40589641000000     		ar = 160933.089873958m²