Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3389 / 5571
↖ ↑ ↗
← S 54.239550°
W 31.069336°		 ← 2 855.66 m → S 54.239550°
W 31.025391°		 →
↑
2 854.78 m
↓
↑
2 854.78 m
↓
S 54.265224°
W 31.069336°		 ← 2 853.88 m →
8 149 735 m²		 S 54.265224°
W 31.025391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41375732421875 y=0.68011474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41375732421875 × 213)
    floor (0.41375732421875 × 8192)
    floor (3389.5)     		tx = 3389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68011474609375 × 213)
    floor (0.68011474609375 × 8192)
    floor (5571.5)     		ty = 5571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3389 / 5571 ti = "13/3389/5571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3389/5571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3389 ÷ 213
    3389 ÷ 8192     		x = 0.4136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5571 ÷ 213
    5571 ÷ 8192     		y = 0.6800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54226221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54226221} λ = -0.54226221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13131083103333))-π/2
    2×atan(0.322610091814182)-π/2
    2×0.3120687926181-π/2
    0.6241375852362-1.57079632675     		φ = -0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54226221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3389 KachelY 5571 -0.54226221 -0.94665874 -31.069336 -54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 3390 KachelY 5571 -0.54149522 -0.94665874 -31.025391 -54.239550
    Unten links KachelX 3389 KachelY + 1 5572 -0.54226221 -0.94710683 -31.069336 -54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 3390 KachelY + 1 5572 -0.54149522 -0.94710683 -31.025391 -54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94665874--0.94710683) × R
    0.000448089999999901 × 6371000     		dl = 2854.78138999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94665874--0.94710683) × R
    0.000448089999999901 × 6371000     		dr = 2854.78138999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54226221--0.54149522) × cos(-0.94665874) × R
    0.000766989999999912 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 2855.655293826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54226221--0.54149522) × cos(-0.94710683) × R
    0.000766989999999912 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 2853.87822725708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94665874)-sin(-0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584034001048921)×R²
    abs(-0.54149522--0.54226221)×0.000363669090176488×R²
    0.000766989999999912×0.000363669090176488×6371000²
    0.000766989999999912×0.000363669090176488×40589641000000     		ar = 8149735.15714308m²