Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33886 / 101680
↖ ↑ ↗
← S 69.945375°
W 86.929321°		 ← 104.71 m → S 69.945375°
W 86.926575°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.946317°
W 86.929321°		 ← 104.71 m →
10 967 m²		 S 69.946317°
W 86.926575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258533477783203 y=0.775760650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258533477783203 × 217)
    floor (0.258533477783203 × 131072)
    floor (33886.5)     		tx = 33886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775760650634766 × 217)
    floor (0.775760650634766 × 131072)
    floor (101680.5)     		ty = 101680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33886 / 101680 ti = "17/33886/101680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33886/101680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33886 ÷ 217
    33886 ÷ 131072     		x = 0.258529663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101680 ÷ 217
    101680 ÷ 131072     		y = 0.7757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.482940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51720287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51720287} λ = -1.51720287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73263129986731))-π/2
    2×atan(0.176818534722986)-π/2
    2×0.175009616939629-π/2
    0.350019233879258-1.57079632675     		φ = -1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51720287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33886 KachelY 101680 -1.51720287 -1.22077709 -86.929321 -69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 33887 KachelY 101680 -1.51715494 -1.22077709 -86.926575 -69.945375
    Unten links KachelX 33886 KachelY + 1 101681 -1.51720287 -1.22079353 -86.929321 -69.946317
    Unten rechts KachelX + 1 33887 KachelY + 1 101681 -1.51715494 -1.22079353 -86.926575 -69.946317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22077709--1.22079353) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22077709--1.22079353) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51720287--1.51715494) × cos(-1.22077709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 104.71348859857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51720287--1.51715494) × cos(-1.22079353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34290043468692 × 6371000     		du = 104.708772823944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22077709)-sin(-1.22079353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.34290043468692)×R²
    abs(-1.51715494--1.51720287)×1.54432252937875e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54432252937875e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54432252937875e-05×40589641000000     		ar = 10967.3642505837m²