Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33884 / 34657
↖ ↑ ↗
← S 10.320324°
E  6.130371°		 ← 600.91 m → S 10.320324°
E  6.135864°		 →
↑
600.91 m
↓
↑
600.91 m
↓
S 10.325728°
E  6.130371°		 ← 600.90 m →
361 089 m²		 S 10.325728°
E  6.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517036437988281 y=0.528831481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517036437988281 × 216)
    floor (0.517036437988281 × 65536)
    floor (33884.5)     		tx = 33884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528831481933594 × 216)
    floor (0.528831481933594 × 65536)
    floor (34657.5)     		ty = 34657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33884 / 34657 ti = "16/33884/34657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33884/34657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33884 ÷ 216
    33884 ÷ 65536     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34657 ÷ 216
    34657 ÷ 65536     		y = 0.528823852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528823852539062 × 2 - 1) × π
    -0.057647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181105606764572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181105606764572))-π/2
    2×atan(0.83434724133029)-π/2
    2×0.695336349832591-π/2
    1.39067269966518-1.57079632675     		φ = -0.18012363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18012363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.320324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33884 KachelY 34657 0.10699516 -0.18012363 6.130371 -10.320324
    Oben rechts KachelX + 1 33885 KachelY 34657 0.10709103 -0.18012363 6.135864 -10.320324
    Unten links KachelX 33884 KachelY + 1 34658 0.10699516 -0.18021795 6.130371 -10.325728
    Unten rechts KachelX + 1 33885 KachelY + 1 34658 0.10709103 -0.18021795 6.135864 -10.325728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18012363--0.18021795) × R
    9.43199999999811e-05 × 6371000     		dl = 600.91271999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18012363--0.18021795) × R
    9.43199999999811e-05 × 6371000     		dr = 600.91271999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10709103) × cos(-0.18012363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983821551843296 × 6371000     		do = 600.906171728293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10709103) × cos(-0.18021795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983804649925531 × 6371000     		du = 600.895848243633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18012363)-sin(-0.18021795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983821551843296-0.983804649925531)×R²
    abs(0.10709103-0.10699516)×1.69019177651553e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69019177651553e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69019177651553e-05×40589641000000     		ar = 361089.060629022m²