Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33884 / 22498
↖ ↑ ↗
← N 49.030665°
E  6.130371°		 ← 400.47 m → N 49.030665°
E  6.135864°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
N 49.027063°
E  6.130371°		 ← 400.50 m →
160 385 m²		 N 49.027063°
E  6.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517036437988281 y=0.343299865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517036437988281 × 216)
    floor (0.517036437988281 × 65536)
    floor (33884.5)     		tx = 33884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343299865722656 × 216)
    floor (0.343299865722656 × 65536)
    floor (22498.5)     		ty = 22498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33884 / 22498 ti = "16/33884/22498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33884/22498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33884 ÷ 216
    33884 ÷ 65536     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22498 ÷ 216
    22498 ÷ 65536     		y = 0.343292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343292236328125 × 2 - 1) × π
    0.31341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.984623918195953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984623918195953))-π/2
    2×atan(2.67680499744446)-π/2
    2×1.21327143470414-π/2
    2.42654286940829-1.57079632675     		φ = 0.85574654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85574654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.030665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33884 KachelY 22498 0.10699516 0.85574654 6.130371 49.030665
    Oben rechts KachelX + 1 33885 KachelY 22498 0.10709103 0.85574654 6.135864 49.030665
    Unten links KachelX 33884 KachelY + 1 22499 0.10699516 0.85568368 6.130371 49.027063
    Unten rechts KachelX + 1 33885 KachelY + 1 22499 0.10709103 0.85568368 6.135864 49.027063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85574654-0.85568368) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dl = 400.481060000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85574654-0.85568368) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dr = 400.481060000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10709103) × cos(0.85574654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655655009556905 × 6371000     		do = 400.466061176582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10709103) × cos(0.85568368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655702471370768 × 6371000     		du = 400.495050272031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85574654)-sin(0.85568368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655655009556905-0.655702471370768)×R²
    abs(0.10709103-0.10699516)×4.74618138627259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74618138627259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74618138627259e-05×40589641000000     		ar = 160384.877519022m²