Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33882 / 23870
↖ ↑ ↗
← N 43.842451°
E  6.119385°		 ← 440.57 m → N 43.842451°
E  6.124878°		 →
↑
440.62 m
↓
↑
440.62 m
↓
N 43.838489°
E  6.119385°		 ← 440.60 m →
194 132 m²		 N 43.838489°
E  6.124878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517005920410156 y=0.364234924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517005920410156 × 216)
    floor (0.517005920410156 × 65536)
    floor (33882.5)     		tx = 33882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364234924316406 × 216)
    floor (0.364234924316406 × 65536)
    floor (23870.5)     		ty = 23870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33882 / 23870 ti = "16/33882/23870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33882/23870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33882 ÷ 216
    33882 ÷ 65536     		x = 0.516998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23870 ÷ 216
    23870 ÷ 65536     		y = 0.364227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516998291015625 × 2 - 1) × π
    0.03399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10680341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364227294921875 × 2 - 1) × π
    0.27154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.853085065638519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10680341} λ = 0.10680341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.853085065638519))-π/2
    2×atan(2.34687596144015)-π/2
    2×1.16799572589306-π/2
    2.33599145178612-1.57079632675     		φ = 0.76519513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10680341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.119385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76519513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.842451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33882 KachelY 23870 0.10680341 0.76519513 6.119385 43.842451
    Oben rechts KachelX + 1 33883 KachelY 23870 0.10689929 0.76519513 6.124878 43.842451
    Unten links KachelX 33882 KachelY + 1 23871 0.10680341 0.76512597 6.119385 43.838489
    Unten rechts KachelX + 1 33883 KachelY + 1 23871 0.10689929 0.76512597 6.124878 43.838489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76519513-0.76512597) × R
    6.91599999999015e-05 × 6371000     		dl = 440.618359999373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76519513-0.76512597) × R
    6.91599999999015e-05 × 6371000     		dr = 440.618359999373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10680341-0.10689929) × cos(0.76519513) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.721247208959359 × 6371000     		do = 440.57492503866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10680341-0.10689929) × cos(0.76512597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.721295112827521 × 6371000     		du = 440.604187187425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76519513)-sin(0.76512597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721247208959359-0.721295112827521)×R²
    abs(0.10689929-0.10680341)×4.79038681622246e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79038681622246e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79038681622246e-05×40589641000000     		ar = 194131.847724659m²