Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33881 / 22518
↖ ↑ ↗
← N 48.958581°
E  6.113892°		 ← 401.05 m → N 48.958581°
E  6.119385°		 →
↑
401.05 m
↓
↑
401.05 m
↓
N 48.954974°
E  6.113892°		 ← 401.07 m →
160 847 m²		 N 48.954974°
E  6.119385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516990661621094 y=0.343605041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516990661621094 × 216)
    floor (0.516990661621094 × 65536)
    floor (33881.5)     		tx = 33881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343605041503906 × 216)
    floor (0.343605041503906 × 65536)
    floor (22518.5)     		ty = 22518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33881 / 22518 ti = "16/33881/22518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33881/22518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33881 ÷ 216
    33881 ÷ 65536     		x = 0.516983032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22518 ÷ 216
    22518 ÷ 65536     		y = 0.343597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516983032226562 × 2 - 1) × π
    0.033966064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10670754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343597412109375 × 2 - 1) × π
    0.31280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.982706442211151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10670754} λ = 0.10670754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982706442211151))-π/2
    2×atan(2.67167720592553)-π/2
    2×1.21264237823682-π/2
    2.42528475647364-1.57079632675     		φ = 0.85448843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10670754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.113892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85448843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.958581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33881 KachelY 22518 0.10670754 0.85448843 6.113892 48.958581
    Oben rechts KachelX + 1 33882 KachelY 22518 0.10680341 0.85448843 6.119385 48.958581
    Unten links KachelX 33881 KachelY + 1 22519 0.10670754 0.85442548 6.113892 48.954974
    Unten rechts KachelX + 1 33882 KachelY + 1 22519 0.10680341 0.85442548 6.119385 48.954974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85448843-0.85442548) × R
    6.29500000000061e-05 × 6371000     		dl = 401.054450000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85448843-0.85442548) × R
    6.29500000000061e-05 × 6371000     		dr = 401.054450000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10670754-0.10680341) × cos(0.85448843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656604439698071 × 6371000     		do = 401.045961495276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10670754-0.10680341) × cos(0.85442548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65665191749761 × 6371000     		du = 401.07496035458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85448843)-sin(0.85442548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656604439698071-0.65665191749761)×R²
    abs(0.10680341-0.10670754)×4.74777995385089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74777995385089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74777995385089e-05×40589641000000     		ar = 160847.082626053m²