Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3388 / 925
↖ ↑ ↗
← N 79.958930°
W 31.113281°		 ← 851.98 m → N 79.958930°
W 31.069336°		 →
↑
852.31 m
↓
↑
852.31 m
↓
N 79.951265°
W 31.113281°		 ← 852.62 m →
726 427 m²		 N 79.951265°
W 31.069336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41363525390625 y=0.11297607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41363525390625 × 213)
    floor (0.41363525390625 × 8192)
    floor (3388.5)     		tx = 3388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11297607421875 × 213)
    floor (0.11297607421875 × 8192)
    floor (925.5)     		ty = 925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3388 / 925 ti = "13/3388/925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3388/925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3388 ÷ 213
    3388 ÷ 8192     		x = 0.41357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 925 ÷ 213
    925 ÷ 8192     		y = 0.1129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54302920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1129150390625 × 2 - 1) × π
    0.774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43212653912317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54302920} λ = -0.54302920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43212653912317))-π/2
    2×atan(11.3830628887455)-π/2
    2×1.48317146461541-π/2
    2.96634292923082-1.57079632675     		φ = 1.39554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54302920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.958930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3388 KachelY 925 -0.54302920 1.39554660 -31.113281 79.958930
    Oben rechts KachelX + 1 3389 KachelY 925 -0.54226221 1.39554660 -31.069336 79.958930
    Unten links KachelX 3388 KachelY + 1 926 -0.54302920 1.39541282 -31.113281 79.951265
    Unten rechts KachelX + 1 3389 KachelY + 1 926 -0.54226221 1.39541282 -31.069336 79.951265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39554660-1.39541282) × R
    0.000133780000000083 × 6371000     		dl = 852.312380000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39554660-1.39541282) × R
    0.000133780000000083 × 6371000     		dr = 852.312380000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54302920--0.54226221) × cos(1.39554660) × R
    0.000766990000000023 × 0.174354044764456 × 6371000     		do = 851.979869825901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54302920--0.54226221) × cos(1.39541282) × R
    0.000766990000000023 × 0.174485774099432 × 6371000     		du = 852.623564337358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39554660)-sin(1.39541282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174354044764456-0.174485774099432)×R²
    abs(-0.54226221--0.54302920)×0.000131729334976127×R²
    0.000766990000000023×0.000131729334976127×6371000²
    0.000766990000000023×0.000131729334976127×40589641000000     		ar = 726427.306049434m²