Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33877 / 34207
↖ ↑ ↗
← S  7.879706°
E  6.091919°		 ← 605.08 m → S  7.879706°
E  6.097412°		 →
↑
605.05 m
↓
↑
605.05 m
↓
S  7.885147°
E  6.091919°		 ← 605.08 m →
366 106 m²		 S  7.885147°
E  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516929626464844 y=0.521965026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516929626464844 × 216)
    floor (0.516929626464844 × 65536)
    floor (33877.5)     		tx = 33877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521965026855469 × 216)
    floor (0.521965026855469 × 65536)
    floor (34207.5)     		ty = 34207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33877 / 34207 ti = "16/33877/34207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33877/34207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33877 ÷ 216
    33877 ÷ 65536     		x = 0.516921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34207 ÷ 216
    34207 ÷ 65536     		y = 0.521957397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516921997070312 × 2 - 1) × π
    0.033843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10632404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521957397460938 × 2 - 1) × π
    -0.043914794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137962397106522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10632404} λ = 0.10632404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137962397106522))-π/2
    2×atan(0.871131448192978)-π/2
    2×0.71663475632047-π/2
    1.43326951264094-1.57079632675     		φ = -0.13752681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10632404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13752681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.879706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33877 KachelY 34207 0.10632404 -0.13752681 6.091919 -7.879706
    Oben rechts KachelX + 1 33878 KachelY 34207 0.10641992 -0.13752681 6.097412 -7.879706
    Unten links KachelX 33877 KachelY + 1 34208 0.10632404 -0.13762178 6.091919 -7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 33878 KachelY + 1 34208 0.10641992 -0.13762178 6.097412 -7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13752681--0.13762178) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dl = 605.053869999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13752681--0.13762178) × R
    9.49699999999998e-05 × 6371000     		dr = 605.053869999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(-0.13752681) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.990558084086428 × 6371000     		do = 605.0838716902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(-0.13762178) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 605.075915804417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13752681)-sin(-0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990558084086428-0.990545059830871)×R²
    abs(0.10641992-0.10632404)×1.30242555570481e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.30242555570481e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.30242555570481e-05×40589641000000     		ar = 366105.931646104m²