Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33877 / 22442
↖ ↑ ↗
← N 49.231947°
E  6.091919°		 ← 398.89 m → N 49.231947°
E  6.097412°		 →
↑
398.89 m
↓
↑
398.89 m
↓
N 49.228360°
E  6.091919°		 ← 398.91 m →
159 116 m²		 N 49.228360°
E  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516929626464844 y=0.342445373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516929626464844 × 216)
    floor (0.516929626464844 × 65536)
    floor (33877.5)     		tx = 33877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342445373535156 × 216)
    floor (0.342445373535156 × 65536)
    floor (22442.5)     		ty = 22442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33877 / 22442 ti = "16/33877/22442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33877/22442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33877 ÷ 216
    33877 ÷ 65536     		x = 0.516921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22442 ÷ 216
    22442 ÷ 65536     		y = 0.342437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516921997070312 × 2 - 1) × π
    0.033843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10632404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342437744140625 × 2 - 1) × π
    0.31512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.9899928509534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10632404} λ = 0.10632404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9899928509534))-π/2
    2×atan(2.69121523265738)-π/2
    2×1.21502795215218-π/2
    2.43005590430437-1.57079632675     		φ = 0.85925958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10632404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85925958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.231947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33877 KachelY 22442 0.10632404 0.85925958 6.091919 49.231947
    Oben rechts KachelX + 1 33878 KachelY 22442 0.10641992 0.85925958 6.097412 49.231947
    Unten links KachelX 33877 KachelY + 1 22443 0.10632404 0.85919697 6.091919 49.228360
    Unten rechts KachelX + 1 33878 KachelY + 1 22443 0.10641992 0.85919697 6.097412 49.228360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85925958-0.85919697) × R
    6.2610000000074e-05 × 6371000     		dl = 398.888310000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85925958-0.85919697) × R
    6.2610000000074e-05 × 6371000     		dr = 398.888310000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(0.85925958) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.652998411062995 × 6371000     		do = 398.885045835506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10632404-0.10641992) × cos(0.85919697) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.653045828047445 × 6371000     		du = 398.914010570634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85925958)-sin(0.85919697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652998411062995-0.653045828047445)×R²
    abs(0.10641992-0.10632404)×4.74169844497663e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.74169844497663e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.74169844497663e-05×40589641000000     		ar = 159116.358716982m²