Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33871 / 22482
↖ ↑ ↗
← N 49.088258°
E  6.058960°		 ← 400 m → N 49.088258°
E  6.064453°		 →
↑
400.04 m
↓
↑
400.04 m
↓
N 49.084660°
E  6.058960°		 ← 400.03 m →
160 021 m²		 N 49.084660°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516838073730469 y=0.343055725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516838073730469 × 216)
    floor (0.516838073730469 × 65536)
    floor (33871.5)     		tx = 33871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343055725097656 × 216)
    floor (0.343055725097656 × 65536)
    floor (22482.5)     		ty = 22482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33871 / 22482 ti = "16/33871/22482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33871/22482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33871 ÷ 216
    33871 ÷ 65536     		x = 0.516830444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22482 ÷ 216
    22482 ÷ 65536     		y = 0.343048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516830444335938 × 2 - 1) × π
    0.033660888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10574880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343048095703125 × 2 - 1) × π
    0.31390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986157898983795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10574880} λ = 0.10574880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986157898983795))-π/2
    2×atan(2.68091431588531)-π/2
    2×1.21377402459381-π/2
    2.42754804918762-1.57079632675     		φ = 0.85675172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10574880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.058960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85675172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.088258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33871 KachelY 22482 0.10574880 0.85675172 6.058960 49.088258
    Oben rechts KachelX + 1 33872 KachelY 22482 0.10584467 0.85675172 6.064453 49.088258
    Unten links KachelX 33871 KachelY + 1 22483 0.10574880 0.85668893 6.058960 49.084660
    Unten rechts KachelX + 1 33872 KachelY + 1 22483 0.10584467 0.85668893 6.064453 49.084660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85675172-0.85668893) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dl = 400.035089999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85675172-0.85668893) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dr = 400.035089999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10574880-0.10584467) × cos(0.85675172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654895706639058 × 6371000     		do = 400.002288240636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10574880-0.10584467) × cos(0.85668893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		du = 400.031270316919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85675172)-sin(0.85668893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654895706639058-0.654943156960932)×R²
    abs(0.10584467-0.10574880)×4.74503218740319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74503218740319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74503218740319e-05×40589641000000     		ar = 160020.74835268m²