Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33871 / 22385
↖ ↑ ↗
← N 49.435985°
E  6.058960°		 ← 397.19 m → N 49.435985°
E  6.064453°		 →
↑
397.23 m
↓
↑
397.23 m
↓
N 49.432413°
E  6.058960°		 ← 397.22 m →
157 784 m²		 N 49.432413°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516838073730469 y=0.341575622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516838073730469 × 216)
    floor (0.516838073730469 × 65536)
    floor (33871.5)     		tx = 33871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341575622558594 × 216)
    floor (0.341575622558594 × 65536)
    floor (22385.5)     		ty = 22385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33871 / 22385 ti = "16/33871/22385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33871/22385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33871 ÷ 216
    33871 ÷ 65536     		x = 0.516830444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22385 ÷ 216
    22385 ÷ 65536     		y = 0.341567993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516830444335938 × 2 - 1) × π
    0.033660888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10574880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341567993164062 × 2 - 1) × π
    0.316864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.995457657510086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10574880} λ = 0.10574880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995457657510086))-π/2
    2×atan(2.70596246198296)-π/2
    2×1.21680851612102-π/2
    2.43361703224204-1.57079632675     		φ = 0.86282071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10574880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.058960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86282071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.435985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33871 KachelY 22385 0.10574880 0.86282071 6.058960 49.435985
    Oben rechts KachelX + 1 33872 KachelY 22385 0.10584467 0.86282071 6.064453 49.435985
    Unten links KachelX 33871 KachelY + 1 22386 0.10574880 0.86275836 6.058960 49.432413
    Unten rechts KachelX + 1 33872 KachelY + 1 22386 0.10584467 0.86275836 6.064453 49.432413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86282071-0.86275836) × R
    6.23500000000998e-05 × 6371000     		dl = 397.231850000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86282071-0.86275836) × R
    6.23500000000998e-05 × 6371000     		dr = 397.231850000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10574880-0.10584467) × cos(0.86282071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650297221376525 × 6371000     		do = 397.193589681755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10574880-0.10584467) × cos(0.86275836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650344586153146 × 6371000     		du = 397.222519508044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86282071)-sin(0.86275836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650297221376525-0.650344586153146)×R²
    abs(0.10584467-0.10574880)×4.73647766204843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73647766204843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73647766204843e-05×40589641000000     		ar = 157783.690412889m²