Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33870 / 34387
↖ ↑ ↗
← S  8.857934°
E  6.053467°		 ← 603.50 m → S  8.857934°
E  6.058960°		 →
↑
603.52 m
↓
↑
603.52 m
↓
S  8.863362°
E  6.053467°		 ← 603.49 m →
364 226 m²		 S  8.863362°
E  6.058960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516822814941406 y=0.524711608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516822814941406 × 216)
    floor (0.516822814941406 × 65536)
    floor (33870.5)     		tx = 33870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524711608886719 × 216)
    floor (0.524711608886719 × 65536)
    floor (34387.5)     		ty = 34387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33870 / 34387 ti = "16/33870/34387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33870/34387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33870 ÷ 216
    33870 ÷ 65536     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34387 ÷ 216
    34387 ÷ 65536     		y = 0.524703979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524703979492188 × 2 - 1) × π
    -0.049407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.155219680969742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155219680969742))-π/2
    2×atan(0.856227060030591)-π/2
    2×0.708098103074171-π/2
    1.41619620614834-1.57079632675     		φ = -0.15460012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15460012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.857934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33870 KachelY 34387 0.10565293 -0.15460012 6.053467 -8.857934
    Oben rechts KachelX + 1 33871 KachelY 34387 0.10574880 -0.15460012 6.058960 -8.857934
    Unten links KachelX 33870 KachelY + 1 34388 0.10565293 -0.15469485 6.053467 -8.863362
    Unten rechts KachelX + 1 33871 KachelY + 1 34388 0.10574880 -0.15469485 6.058960 -8.863362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15460012--0.15469485) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dl = 603.524829999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15460012--0.15469485) × R
    9.47299999999873e-05 × 6371000     		dr = 603.524829999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10574880) × cos(-0.15460012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988073185293195 × 6371000     		do = 603.503017442014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10574880) × cos(-0.15469485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988058593860709 × 6371000     		du = 603.494105173505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15460012)-sin(-0.15469485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988073185293195-0.988058593860709)×R²
    abs(0.10574880-0.10565293)×1.45914324863883e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45914324863883e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45914324863883e-05×40589641000000     		ar = 364226.366890838m²