Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33870 / 22462
↖ ↑ ↗
← N 49.160155°
E  6.053467°		 ← 399.42 m → N 49.160155°
E  6.058960°		 →
↑
399.46 m
↓
↑
399.46 m
↓
N 49.156562°
E  6.053467°		 ← 399.45 m →
159 560 m²		 N 49.156562°
E  6.058960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516822814941406 y=0.342750549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516822814941406 × 216)
    floor (0.516822814941406 × 65536)
    floor (33870.5)     		tx = 33870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342750549316406 × 216)
    floor (0.342750549316406 × 65536)
    floor (22462.5)     		ty = 22462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33870 / 22462 ti = "16/33870/22462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33870/22462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33870 ÷ 216
    33870 ÷ 65536     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22462 ÷ 216
    22462 ÷ 65536     		y = 0.342742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342742919921875 × 2 - 1) × π
    0.31451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988075374968597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988075374968597))-π/2
    2×atan(2.68605983633272)-π/2
    2×1.21440144312467-π/2
    2.42880288624933-1.57079632675     		φ = 0.85800656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85800656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.160155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33870 KachelY 22462 0.10565293 0.85800656 6.053467 49.160155
    Oben rechts KachelX + 1 33871 KachelY 22462 0.10574880 0.85800656 6.058960 49.160155
    Unten links KachelX 33870 KachelY + 1 22463 0.10565293 0.85794386 6.053467 49.156562
    Unten rechts KachelX + 1 33871 KachelY + 1 22463 0.10574880 0.85794386 6.058960 49.156562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85800656-0.85794386) × R
    6.26999999999711e-05 × 6371000     		dl = 399.461699999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85800656-0.85794386) × R
    6.26999999999711e-05 × 6371000     		dr = 399.461699999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10574880) × cos(0.85800656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653946884513518 × 6371000     		do = 399.42275929045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10574880) × cos(0.85794386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653994318315093 × 6371000     		du = 399.451731276337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85800656)-sin(0.85794386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653946884513518-0.653994318315093)×R²
    abs(0.10574880-0.10565293)×4.74338015747922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74338015747922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74338015747922e-05×40589641000000     		ar = 159559.881096571m²