Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3387 / 4029
↖ ↑ ↗
← N 79.308756°
W142.789307°		 ← 226.63 m → N 79.308756°
W142.778320°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
N 79.306718°
W142.789307°		 ← 226.68 m →
51 364 m²		 N 79.306718°
W142.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103378295898438 y=0.122970581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103378295898438 × 215)
    floor (0.103378295898438 × 32768)
    floor (3387.5)     		tx = 3387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122970581054688 × 215)
    floor (0.122970581054688 × 32768)
    floor (4029.5)     		ty = 4029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3387 / 4029 ti = "15/3387/4029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3387/4029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3387 ÷ 215
    3387 ÷ 32768     		x = 0.103363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4029 ÷ 215
    4029 ÷ 32768     		y = 0.122955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.79327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49214354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122955322265625 × 2 - 1) × π
    0.75408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36904157922317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49214354} λ = -2.49214354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36904157922317))-π/2
    2×atan(10.6871445926727)-π/2
    2×1.47749762042651-π/2
    2.95499524085302-1.57079632675     		φ = 1.38419891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49214354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38419891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.308756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3387 KachelY 4029 -2.49214354 1.38419891 -142.789307 79.308756
    Oben rechts KachelX + 1 3388 KachelY 4029 -2.49195179 1.38419891 -142.778320 79.308756
    Unten links KachelX 3387 KachelY + 1 4030 -2.49214354 1.38416334 -142.789307 79.306718
    Unten rechts KachelX + 1 3388 KachelY + 1 4030 -2.49195179 1.38416334 -142.778320 79.306718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38419891-1.38416334) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dl = 226.61647000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38419891-1.38416334) × R
    3.55700000000958e-05 × 6371000     		dr = 226.61647000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49214354--2.49195179) × cos(1.38419891) × R
    0.000191749999999935 × 0.185516457043486 × 6371000     		do = 226.634185445184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49214354--2.49195179) × cos(1.38416334) × R
    0.000191749999999935 × 0.185551409472086 × 6371000     		du = 226.676884703845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38419891)-sin(1.38416334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185516457043486-0.185551409472086)×R²
    abs(-2.49195179--2.49214354)×3.49524286005209e-05×R²
    0.000191749999999935×3.49524286005209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.49524286005209e-05×40589641000000     		ar = 51363.877269763m²