Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3387 / 3128
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E117.685547°		 ← 3 597.83 m → S 68.399180°
E117.773438°		 →
↑
3 595.22 m
↓
↑
3 595.22 m
↓
S 68.431513°
E117.685547°		 ← 3 592.70 m →
12 925 768 m²		 S 68.431513°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8270263671875 y=0.7637939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8270263671875 × 212)
    floor (0.8270263671875 × 4096)
    floor (3387.5)     		tx = 3387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7637939453125 × 212)
    floor (0.7637939453125 × 4096)
    floor (3128.5)     		ty = 3128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3387 / 3128 ti = "12/3387/3128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3387/3128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3387 ÷ 212
    3387 ÷ 4096     		x = 0.826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3128 ÷ 212
    3128 ÷ 4096     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826904296875 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05400027} λ = 2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3387 KachelY 3128 2.05400027 -1.19379090 117.685547 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 3388 KachelY 3128 2.05553426 -1.19379090 117.773438 -68.399180
    Unten links KachelX 3387 KachelY + 1 3129 2.05400027 -1.19435521 117.685547 -68.431513
    Unten rechts KachelX + 1 3388 KachelY + 1 3129 2.05553426 -1.19435521 117.773438 -68.431513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19435521) × R
    0.000564309999999901 × 6371000     		dl = 3595.21900999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19435521) × R
    0.000564309999999901 × 6371000     		dr = 3595.21900999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05400027-2.05553426) × cos(-1.19379090) × R
    0.00153398999999999 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 3597.82978256417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05400027-2.05553426) × cos(-1.19435521) × R
    0.00153398999999999 × 0.367613118443052 × 6371000     		du = 3592.70149380764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19435521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.367613118443052)×R²
    abs(2.05553426-2.05400027)×0.000524737784454388×R²
    0.00153398999999999×0.000524737784454388×6371000²
    0.00153398999999999×0.000524737784454388×40589641000000     		ar = 12925767.7114145m²