Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3387 / 1495
↖ ↑ ↗
← N 43.644026°
E117.685547°		 ← 7 072.19 m → N 43.644026°
E117.773438°		 →
↑
7 075.89 m
↓
↑
7 075.89 m
↓
N 43.580391°
E117.685547°		 ← 7 079.67 m →
50 068 494 m²		 N 43.580391°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8270263671875 y=0.3651123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8270263671875 × 212)
    floor (0.8270263671875 × 4096)
    floor (3387.5)     		tx = 3387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3651123046875 × 212)
    floor (0.3651123046875 × 4096)
    floor (1495.5)     		ty = 1495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3387 / 1495 ti = "12/3387/1495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3387/1495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3387 ÷ 212
    3387 ÷ 4096     		x = 0.826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1495 ÷ 212
    1495 ÷ 4096     		y = 0.364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826904296875 × 2 - 1) × π
    0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364990234375 × 2 - 1) × π
    0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05400027} λ = 2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848291375676514))-π/2
    2×atan(2.33565268764126)-π/2
    2×1.16626413832261-π/2
    2.33252827664522-1.57079632675     		φ = 0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3387 KachelY 1495 2.05400027 0.76173195 117.685547 43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 3388 KachelY 1495 2.05553426 0.76173195 117.773438 43.644026
    Unten links KachelX 3387 KachelY + 1 1496 2.05400027 0.76062131 117.685547 43.580391
    Unten rechts KachelX + 1 3388 KachelY + 1 1496 2.05553426 0.76062131 117.773438 43.580391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76173195-0.76062131) × R
    0.00111064000000005 × 6371000     		dl = 7075.88744000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76173195-0.76062131) × R
    0.00111064000000005 × 6371000     		dr = 7075.88744000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05400027-2.05553426) × cos(0.76173195) × R
    0.00153398999999999 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 7072.1871825732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05400027-2.05553426) × cos(0.76062131) × R
    0.00153398999999999 × 0.724407837082572 × 6371000     		du = 7079.67422227803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76173195)-sin(0.76062131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.724407837082572)×R²
    abs(2.05553426-2.05400027)×0.000766090369195505×R²
    0.00153398999999999×0.000766090369195505×6371000²
    0.00153398999999999×0.000766090369195505×40589641000000     		ar = 50068494.3303167m²