Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33867 / 23444
↖ ↑ ↗
← N 45.506347°
E  6.036988°		 ← 428.06 m → N 45.506347°
E  6.042481°		 →
↑
428.07 m
↓
↑
428.07 m
↓
N 45.502497°
E  6.036988°		 ← 428.09 m →
183 244 m²		 N 45.502497°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516777038574219 y=0.357734680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516777038574219 × 216)
    floor (0.516777038574219 × 65536)
    floor (33867.5)     		tx = 33867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357734680175781 × 216)
    floor (0.357734680175781 × 65536)
    floor (23444.5)     		ty = 23444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33867 / 23444 ti = "16/33867/23444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33867/23444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33867 ÷ 216
    33867 ÷ 65536     		x = 0.516769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23444 ÷ 216
    23444 ÷ 65536     		y = 0.35772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516769409179688 × 2 - 1) × π
    0.033538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10536531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35772705078125 × 2 - 1) × π
    0.2845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.893927304114807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10536531} λ = 0.10536531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893927304114807))-π/2
    2×atan(2.44471194997378)-π/2
    2×1.18251595537781-π/2
    2.36503191075561-1.57079632675     		φ = 0.79423558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10536531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.036988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79423558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.506347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33867 KachelY 23444 0.10536531 0.79423558 6.036988 45.506347
    Oben rechts KachelX + 1 33868 KachelY 23444 0.10546118 0.79423558 6.042481 45.506347
    Unten links KachelX 33867 KachelY + 1 23445 0.10536531 0.79416839 6.036988 45.502497
    Unten rechts KachelX + 1 33868 KachelY + 1 23445 0.10546118 0.79416839 6.042481 45.502497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79423558-0.79416839) × R
    6.71900000001058e-05 × 6371000     		dl = 428.067490000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79423558-0.79416839) × R
    6.71900000001058e-05 × 6371000     		dr = 428.067490000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10536531-0.10546118) × cos(0.79423558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700830253003312 × 6371000     		do = 428.058547380419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10536531-0.10546118) × cos(0.79416839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700878179935342 × 6371000     		du = 428.087820564357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79423558)-sin(0.79416839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700830253003312-0.700878179935342)×R²
    abs(0.10546118-0.10536531)×4.79269320298181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79269320298181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79269320298181e-05×40589641000000     		ar = 183244.21346883m²