Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33867 / 22452
↖ ↑ ↗
← N 49.196064°
E  6.036988°		 ← 399.13 m → N 49.196064°
E  6.042481°		 →
↑
399.21 m
↓
↑
399.21 m
↓
N 49.192474°
E  6.036988°		 ← 399.16 m →
159 342 m²		 N 49.192474°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516777038574219 y=0.342597961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516777038574219 × 216)
    floor (0.516777038574219 × 65536)
    floor (33867.5)     		tx = 33867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342597961425781 × 216)
    floor (0.342597961425781 × 65536)
    floor (22452.5)     		ty = 22452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33867 / 22452 ti = "16/33867/22452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33867/22452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33867 ÷ 216
    33867 ÷ 65536     		x = 0.516769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22452 ÷ 216
    22452 ÷ 65536     		y = 0.34259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516769409179688 × 2 - 1) × π
    0.033538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10536531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34259033203125 × 2 - 1) × π
    0.3148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.989034112960999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10536531} λ = 0.10536531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989034112960999))-π/2
    2×atan(2.68863629882657)-π/2
    2×1.21471481130545-π/2
    2.42942962261091-1.57079632675     		φ = 0.85863330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10536531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.036988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85863330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.196064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33867 KachelY 22452 0.10536531 0.85863330 6.036988 49.196064
    Oben rechts KachelX + 1 33868 KachelY 22452 0.10546118 0.85863330 6.042481 49.196064
    Unten links KachelX 33867 KachelY + 1 22453 0.10536531 0.85857064 6.036988 49.192474
    Unten rechts KachelX + 1 33868 KachelY + 1 22453 0.10546118 0.85857064 6.042481 49.192474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85863330-0.85857064) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dl = 399.20685999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85863330-0.85857064) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dr = 399.20685999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10536531-0.10546118) × cos(0.85863330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653472601938592 × 6371000     		do = 399.133073294162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10536531-0.10546118) × cos(0.85857064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653520031153301 × 6371000     		du = 399.162042478446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85863330)-sin(0.85857064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653472601938592-0.653520031153301)×R²
    abs(0.10546118-0.10536531)×4.7429214708572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7429214708572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7429214708572e-05×40589641000000     		ar = 159342.443312649m²