Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33866 / 23447
↖ ↑ ↗
← N 45.494796°
E  6.031494°		 ← 428.19 m → N 45.494796°
E  6.036988°		 →
↑
428.19 m
↓
↑
428.19 m
↓
N 45.490946°
E  6.031494°		 ← 428.22 m →
183 355 m²		 N 45.490946°
E  6.036988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516761779785156 y=0.357780456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516761779785156 × 216)
    floor (0.516761779785156 × 65536)
    floor (33866.5)     		tx = 33866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357780456542969 × 216)
    floor (0.357780456542969 × 65536)
    floor (23447.5)     		ty = 23447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33866 / 23447 ti = "16/33866/23447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33866/23447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33866 ÷ 216
    33866 ÷ 65536     		x = 0.516754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23447 ÷ 216
    23447 ÷ 65536     		y = 0.357772827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516754150390625 × 2 - 1) × π
    0.03350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10526943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357772827148438 × 2 - 1) × π
    0.284454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.893639682717087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10526943} λ = 0.10526943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893639682717087))-π/2
    2×atan(2.44400889961672)-π/2
    2×1.18241515815058-π/2
    2.36483031630116-1.57079632675     		φ = 0.79403399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10526943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.031494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79403399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.494796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33866 KachelY 23447 0.10526943 0.79403399 6.031494 45.494796
    Oben rechts KachelX + 1 33867 KachelY 23447 0.10536531 0.79403399 6.036988 45.494796
    Unten links KachelX 33866 KachelY + 1 23448 0.10526943 0.79396678 6.031494 45.490946
    Unten rechts KachelX + 1 33867 KachelY + 1 23448 0.10536531 0.79396678 6.036988 45.490946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79403399-0.79396678) × R
    6.72099999999842e-05 × 6371000     		dl = 428.194909999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79403399-0.79396678) × R
    6.72099999999842e-05 × 6371000     		dr = 428.194909999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10526943-0.10536531) × cos(0.79403399) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.700974038570585 × 6371000     		do = 428.191028902448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10526943-0.10536531) × cos(0.79396678) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.701021970271482 × 6371000     		du = 428.22030805288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79403399)-sin(0.79396678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700974038570585-0.701021970271482)×R²
    abs(0.10536531-0.10526943)×4.79317008968971e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79317008968971e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79317008968971e-05×40589641000000     		ar = 183355.487744257m²