Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33863 / 22488
↖ ↑ ↗
← N 49.066669°
E  6.015015°		 ← 400.18 m → N 49.066669°
E  6.020508°		 →
↑
400.23 m
↓
↑
400.23 m
↓
N 49.063069°
E  6.015015°		 ← 400.21 m →
160 167 m²		 N 49.063069°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516716003417969 y=0.343147277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516716003417969 × 216)
    floor (0.516716003417969 × 65536)
    floor (33863.5)     		tx = 33863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343147277832031 × 216)
    floor (0.343147277832031 × 65536)
    floor (22488.5)     		ty = 22488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33863 / 22488 ti = "16/33863/22488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33863/22488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33863 ÷ 216
    33863 ÷ 65536     		x = 0.516708374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22488 ÷ 216
    22488 ÷ 65536     		y = 0.3431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516708374023438 × 2 - 1) × π
    0.033416748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10498181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3431396484375 × 2 - 1) × π
    0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10498181} λ = 0.10498181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985582656188355))-π/2
    2×atan(2.67937258271786)-π/2
    2×1.21358562163179-π/2
    2.42717124326358-1.57079632675     		φ = 0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10498181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.015015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33863 KachelY 22488 0.10498181 0.85637492 6.015015 49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 33864 KachelY 22488 0.10507768 0.85637492 6.020508 49.066669
    Unten links KachelX 33863 KachelY + 1 22489 0.10498181 0.85631210 6.015015 49.063069
    Unten rechts KachelX + 1 33864 KachelY + 1 22489 0.10507768 0.85631210 6.020508 49.063069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85637492-0.85631210) × R
    6.2820000000019e-05 × 6371000     		dl = 400.226220000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85637492-0.85631210) × R
    6.2820000000019e-05 × 6371000     		dr = 400.226220000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10498181-0.10507768) × cos(0.85637492) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 400.176184724755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10498181-0.10507768) × cos(0.85631210) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.65522787264891 × 6371000     		du = 400.205171177121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85637492)-sin(0.85631210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.65522787264891)×R²
    abs(0.10507768-0.10498181)×4.7457486527902e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.7457486527902e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.7457486527902e-05×40589641000000     		ar = 160166.802367957m²