Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33862 / 22477
↖ ↑ ↗
← N 49.106242°
E  6.009522°		 ← 399.86 m → N 49.106242°
E  6.015015°		 →
↑
399.84 m
↓
↑
399.84 m
↓
N 49.102646°
E  6.009522°		 ← 399.89 m →
159 886 m²		 N 49.102646°
E  6.015015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516700744628906 y=0.342979431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516700744628906 × 216)
    floor (0.516700744628906 × 65536)
    floor (33862.5)     		tx = 33862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342979431152344 × 216)
    floor (0.342979431152344 × 65536)
    floor (22477.5)     		ty = 22477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33862 / 22477 ti = "16/33862/22477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33862/22477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33862 ÷ 216
    33862 ÷ 65536     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22477 ÷ 216
    22477 ÷ 65536     		y = 0.342971801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342971801757812 × 2 - 1) × π
    0.314056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986637267979996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986637267979996))-π/2
    2×atan(2.6821997711689)-π/2
    2×1.21393096451065-π/2
    2.4278619290213-1.57079632675     		φ = 0.85706560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85706560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.106242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33862 KachelY 22477 0.10488594 0.85706560 6.009522 49.106242
    Oben rechts KachelX + 1 33863 KachelY 22477 0.10498181 0.85706560 6.015015 49.106242
    Unten links KachelX 33862 KachelY + 1 22478 0.10488594 0.85700284 6.009522 49.102646
    Unten rechts KachelX + 1 33863 KachelY + 1 22478 0.10498181 0.85700284 6.015015 49.102646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85706560-0.85700284) × R
    6.27599999999395e-05 × 6371000     		dl = 399.843959999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85706560-0.85700284) × R
    6.27599999999395e-05 × 6371000     		dr = 399.843959999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10498181) × cos(0.85706560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654658469218446 × 6371000     		do = 399.85738652554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10498181) × cos(0.85700284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654705909768968 × 6371000     		du = 399.8863626336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85706560)-sin(0.85700284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654658469218446-0.654705909768968)×R²
    abs(0.10498181-0.10488594)×4.7440550521638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7440550521638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7440550521638e-05×40589641000000     		ar = 159886.353876853m²