Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33861 / 23441
↖ ↑ ↗
← N 45.517895°
E  6.004028°		 ← 428.02 m → N 45.517895°
E  6.009522°		 →
↑
428 m
↓
↑
428 m
↓
N 45.514046°
E  6.004028°		 ← 428.04 m →
183 198 m²		 N 45.514046°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516685485839844 y=0.357688903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516685485839844 × 216)
    floor (0.516685485839844 × 65536)
    floor (33861.5)     		tx = 33861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357688903808594 × 216)
    floor (0.357688903808594 × 65536)
    floor (23441.5)     		ty = 23441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33861 / 23441 ti = "16/33861/23441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33861/23441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33861 ÷ 216
    33861 ÷ 65536     		x = 0.516677856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23441 ÷ 216
    23441 ÷ 65536     		y = 0.357681274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516677856445312 × 2 - 1) × π
    0.033355712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10479006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357681274414062 × 2 - 1) × π
    0.284637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.894214925512527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10479006} λ = 0.10479006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.894214925512527))-π/2
    2×atan(2.44541520257225)-π/2
    2×1.18261673192675-π/2
    2.3652334638535-1.57079632675     		φ = 0.79443714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10479006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.004028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79443714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.517895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33861 KachelY 23441 0.10479006 0.79443714 6.004028 45.517895
    Oben rechts KachelX + 1 33862 KachelY 23441 0.10488594 0.79443714 6.009522 45.517895
    Unten links KachelX 33861 KachelY + 1 23442 0.10479006 0.79436996 6.004028 45.514046
    Unten rechts KachelX + 1 33862 KachelY + 1 23442 0.10488594 0.79436996 6.009522 45.514046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79443714-0.79436996) × R
    6.71799999999445e-05 × 6371000     		dl = 428.003779999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79443714-0.79436996) × R
    6.71799999999445e-05 × 6371000     		dr = 428.003779999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10479006-0.10488594) × cos(0.79443714) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.700686460359409 × 6371000     		do = 428.015361326473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10479006-0.10488594) × cos(0.79436996) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.700734389647782 × 6371000     		du = 428.044639003212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79443714)-sin(0.79436996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700686460359409-0.700734389647782)×R²
    abs(0.10488594-0.10479006)×4.79292883736049e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79292883736049e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79292883736049e-05×40589641000000     		ar = 183198.458092528m²