Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33860 / 23467
↖ ↑ ↗
← N 45.417732°
E  5.998535°		 ← 428.73 m → N 45.417732°
E  6.004028°		 →
↑
428.77 m
↓
↑
428.77 m
↓
N 45.413876°
E  5.998535°		 ← 428.76 m →
183 833 m²		 N 45.413876°
E  6.004028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516670227050781 y=0.358085632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516670227050781 × 216)
    floor (0.516670227050781 × 65536)
    floor (33860.5)     		tx = 33860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358085632324219 × 216)
    floor (0.358085632324219 × 65536)
    floor (23467.5)     		ty = 23467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33860 / 23467 ti = "16/33860/23467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33860/23467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33860 ÷ 216
    33860 ÷ 65536     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23467 ÷ 216
    23467 ÷ 65536     		y = 0.358078002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358078002929688 × 2 - 1) × π
    0.283843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.891722206732285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891722206732285))-π/2
    2×atan(2.43932706133577)-π/2
    2×1.18174264818022-π/2
    2.36348529636044-1.57079632675     		φ = 0.79268897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79268897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.417732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33860 KachelY 23467 0.10469419 0.79268897 5.998535 45.417732
    Oben rechts KachelX + 1 33861 KachelY 23467 0.10479006 0.79268897 6.004028 45.417732
    Unten links KachelX 33860 KachelY + 1 23468 0.10469419 0.79262167 5.998535 45.413876
    Unten rechts KachelX + 1 33861 KachelY + 1 23468 0.10479006 0.79262167 6.004028 45.413876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79268897-0.79262167) × R
    6.73000000001034e-05 × 6371000     		dl = 428.768300000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79268897-0.79262167) × R
    6.73000000001034e-05 × 6371000     		dr = 428.768300000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10479006) × cos(0.79268897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701932654718933 × 6371000     		do = 428.731880865948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10479006) × cos(0.79262167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701980587104769 × 6371000     		du = 428.761157381003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79268897)-sin(0.79262167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701932654718933-0.701980587104769)×R²
    abs(0.10479006-0.10469419)×4.79323858355585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79323858355585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79323858355585e-05×40589641000000     		ar = 183832.91620537m²