Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3386 / 845
↖ ↑ ↗
← N 80.553733°
W 31.201172°		 ← 801.98 m → N 80.553733°
W 31.157227°		 →
↑
802.24 m
↓
↑
802.24 m
↓
N 80.546518°
W 31.201172°		 ← 802.59 m →
643 624 m²		 N 80.546518°
W 31.157227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41339111328125 y=0.10321044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41339111328125 × 213)
    floor (0.41339111328125 × 8192)
    floor (3386.5)     		tx = 3386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10321044921875 × 213)
    floor (0.10321044921875 × 8192)
    floor (845.5)     		ty = 845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3386 / 845 ti = "13/3386/845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3386/845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3386 ÷ 213
    3386 ÷ 8192     		x = 0.413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 845 ÷ 213
    845 ÷ 8192     		y = 0.1031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54456318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1031494140625 × 2 - 1) × π
    0.793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49348577063684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54456318} λ = -0.54456318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49348577063684))-π/2
    2×atan(12.1033923236557)-π/2
    2×1.48836209576774-π/2
    2.97672419153548-1.57079632675     		φ = 1.40592786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54456318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.201172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40592786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.553733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3386 KachelY 845 -0.54456318 1.40592786 -31.201172 80.553733
    Oben rechts KachelX + 1 3387 KachelY 845 -0.54379619 1.40592786 -31.157227 80.553733
    Unten links KachelX 3386 KachelY + 1 846 -0.54456318 1.40580194 -31.201172 80.546518
    Unten rechts KachelX + 1 3387 KachelY + 1 846 -0.54379619 1.40580194 -31.157227 80.546518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40592786-1.40580194) × R
    0.000125920000000113 × 6371000     		dl = 802.236320000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40592786-1.40580194) × R
    0.000125920000000113 × 6371000     		dr = 802.236320000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54456318--0.54379619) × cos(1.40592786) × R
    0.000766990000000023 × 0.16412258280214 × 6371000     		do = 801.983899600151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54456318--0.54379619) × cos(1.40580194) × R
    0.000766990000000023 × 0.164246794019347 × 6371000     		du = 802.590856879576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40592786)-sin(1.40580194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16412258280214-0.164246794019347)×R²
    abs(-0.54379619--0.54456318)×0.000124211217207071×R²
    0.000766990000000023×0.000124211217207071×6371000²
    0.000766990000000023×0.000124211217207071×40589641000000     		ar = 643624.074753626m²