Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3386 / 3172
↖ ↑ ↗
← S 69.778952°
E117.597656°		 ← 3 377.96 m → S 69.778952°
E117.685547°		 →
↑
3 375.55 m
↓
↑
3 375.55 m
↓
S 69.809309°
E117.597656°		 ← 3 373.10 m →
11 394 274 m²		 S 69.809309°
E117.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8267822265625 y=0.7745361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8267822265625 × 212)
    floor (0.8267822265625 × 4096)
    floor (3386.5)     		tx = 3386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7745361328125 × 212)
    floor (0.7745361328125 × 4096)
    floor (3172.5)     		ty = 3172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3386 / 3172 ti = "12/3386/3172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3386/3172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3386 ÷ 212
    3386 ÷ 4096     		x = 0.82666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3172 ÷ 212
    3172 ÷ 4096     		y = 0.7744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82666015625 × 2 - 1) × π
    0.6533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05246629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05246629} λ = 2.05246629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72419440553418))-π/2
    2×atan(0.178316644828485)-π/2
    2×0.176461934861112-π/2
    0.352923869722225-1.57079632675     		φ = -1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05246629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.597656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3386 KachelY 3172 2.05246629 -1.21787246 117.597656 -69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 3387 KachelY 3172 2.05400027 -1.21787246 117.685547 -69.778952
    Unten links KachelX 3386 KachelY + 1 3173 2.05246629 -1.21840229 117.597656 -69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 3387 KachelY + 1 3173 2.05400027 -1.21840229 117.685547 -69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21787246--1.21840229) × R
    0.000529830000000064 × 6371000     		dl = 3375.54693000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21787246--1.21840229) × R
    0.000529830000000064 × 6371000     		dr = 3375.54693000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05246629-2.05400027) × cos(-1.21787246) × R
    0.00153398000000005 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 3377.96379953017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05246629-2.05400027) × cos(-1.21840229) × R
    0.00153398000000005 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 3373.10444574607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21787246)-sin(-1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.345145715502044)×R²
    abs(2.05400027-2.05246629)×0.000497223007963787×R²
    0.00153398000000005×0.000497223007963787×6371000²
    0.00153398000000005×0.000497223007963787×40589641000000     		ar = 11394274.1113334m²