Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33859 / 34482
↖ ↑ ↗
← S  9.373192°
E  5.993042°		 ← 602.70 m → S  9.373192°
E  5.998535°		 →
↑
602.70 m
↓
↑
602.70 m
↓
S  9.378613°
E  5.993042°		 ← 602.69 m →
363 240 m²		 S  9.378613°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516654968261719 y=0.526161193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516654968261719 × 216)
    floor (0.516654968261719 × 65536)
    floor (33859.5)     		tx = 33859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526161193847656 × 216)
    floor (0.526161193847656 × 65536)
    floor (34482.5)     		ty = 34482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33859 / 34482 ti = "16/33859/34482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33859/34482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33859 ÷ 216
    33859 ÷ 65536     		x = 0.516647338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34482 ÷ 216
    34482 ÷ 65536     		y = 0.526153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516647338867188 × 2 - 1) × π
    0.033294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10459831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.05230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.164327691897553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10459831} λ = 0.10459831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.164327691897553))-π/2
    2×atan(0.848463941561346)-π/2
    2×0.703601626946821-π/2
    1.40720325389364-1.57079632675     		φ = -0.16359307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10459831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.993042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16359307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.373192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33859 KachelY 34482 0.10459831 -0.16359307 5.993042 -9.373192
    Oben rechts KachelX + 1 33860 KachelY 34482 0.10469419 -0.16359307 5.998535 -9.373192
    Unten links KachelX 33859 KachelY + 1 34483 0.10459831 -0.16368767 5.993042 -9.378613
    Unten rechts KachelX + 1 33860 KachelY + 1 34483 0.10469419 -0.16368767 5.998535 -9.378613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16359307--0.16368767) × R
    9.46000000000002e-05 × 6371000     		dl = 602.696600000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16359307--0.16368767) × R
    9.46000000000002e-05 × 6371000     		dr = 602.696600000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10459831-0.10469419) × cos(-0.16359307) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.986648470518405 × 6371000     		do = 602.695678455945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10459831-0.10469419) × cos(-0.16368767) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.986633059136335 × 6371000     		du = 602.686264390399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16359307)-sin(-0.16368767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986648470518405-0.986633059136335)×R²
    abs(0.10469419-0.10459831)×1.54113820697299e-05×R²
    9.58800000000065e-05×1.54113820697299e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×1.54113820697299e-05×40589641000000     		ar = 363239.799598305m²