Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33857 / 23464
↖ ↑ ↗
← N 45.429299°
E  5.982056°		 ← 428.64 m → N 45.429299°
E  5.987549°		 →
↑
428.70 m
↓
↑
428.70 m
↓
N 45.425443°
E  5.982056°		 ← 428.67 m →
183 768 m²		 N 45.425443°
E  5.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516624450683594 y=0.358039855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516624450683594 × 216)
    floor (0.516624450683594 × 65536)
    floor (33857.5)     		tx = 33857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358039855957031 × 216)
    floor (0.358039855957031 × 65536)
    floor (23464.5)     		ty = 23464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33857 / 23464 ti = "16/33857/23464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33857/23464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33857 ÷ 216
    33857 ÷ 65536     		x = 0.516616821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23464 ÷ 216
    23464 ÷ 65536     		y = 0.3580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516616821289062 × 2 - 1) × π
    0.033233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10440657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3580322265625 × 2 - 1) × π
    0.283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.892009828130005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10440657} λ = 0.10440657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892009828130005))-π/2
    2×atan(2.44002876490229)-π/2
    2×1.18184358326625-π/2
    2.3636871665325-1.57079632675     		φ = 0.79289084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10440657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.982056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79289084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.429299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33857 KachelY 23464 0.10440657 0.79289084 5.982056 45.429299
    Oben rechts KachelX + 1 33858 KachelY 23464 0.10450244 0.79289084 5.987549 45.429299
    Unten links KachelX 33857 KachelY + 1 23465 0.10440657 0.79282355 5.982056 45.425443
    Unten rechts KachelX + 1 33858 KachelY + 1 23465 0.10450244 0.79282355 5.987549 45.425443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79289084-0.79282355) × R
    6.72899999999421e-05 × 6371000     		dl = 428.704589999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79289084-0.79282355) × R
    6.72899999999421e-05 × 6371000     		dr = 428.704589999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10440657-0.10450244) × cos(0.79289084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701788859858306 × 6371000     		do = 428.644052723688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10440657-0.10450244) × cos(0.79282355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701836794656466 × 6371000     		du = 428.673330712161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79289084)-sin(0.79282355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701788859858306-0.701836794656466)×R²
    abs(0.10450244-0.10440657)×4.79347981591216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79347981591216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79347981591216e-05×40589641000000     		ar = 183767.948752187m²