Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33857 / 22439
↖ ↑ ↗
← N 49.242707°
E  5.982056°		 ← 398.76 m → N 49.242707°
E  5.987549°		 →
↑
398.76 m
↓
↑
398.76 m
↓
N 49.239121°
E  5.982056°		 ← 398.79 m →
159 014 m²		 N 49.239121°
E  5.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516624450683594 y=0.342399597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516624450683594 × 216)
    floor (0.516624450683594 × 65536)
    floor (33857.5)     		tx = 33857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342399597167969 × 216)
    floor (0.342399597167969 × 65536)
    floor (22439.5)     		ty = 22439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33857 / 22439 ti = "16/33857/22439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33857/22439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33857 ÷ 216
    33857 ÷ 65536     		x = 0.516616821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22439 ÷ 216
    22439 ÷ 65536     		y = 0.342391967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516616821289062 × 2 - 1) × π
    0.033233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10440657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342391967773438 × 2 - 1) × π
    0.315216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99028047235112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10440657} λ = 0.10440657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99028047235112))-π/2
    2×atan(2.69198939507166)-π/2
    2×1.21512185008236-π/2
    2.43024370016472-1.57079632675     		φ = 0.85944737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10440657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.982056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85944737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.242707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33857 KachelY 22439 0.10440657 0.85944737 5.982056 49.242707
    Oben rechts KachelX + 1 33858 KachelY 22439 0.10450244 0.85944737 5.987549 49.242707
    Unten links KachelX 33857 KachelY + 1 22440 0.10440657 0.85938478 5.982056 49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 33858 KachelY + 1 22440 0.10450244 0.85938478 5.987549 49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85944737-0.85938478) × R
    6.25900000000845e-05 × 6371000     		dl = 398.760890000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85944737-0.85938478) × R
    6.25900000000845e-05 × 6371000     		dr = 398.760890000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10440657-0.10450244) × cos(0.85944737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652856175051096 × 6371000     		do = 398.75656729018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10440657-0.10450244) × cos(0.85938478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 398.785524440732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85944737)-sin(0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652856175051096-0.652903584563817)×R²
    abs(0.10450244-0.10440657)×4.74095127216412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74095127216412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74095127216412e-05×40589641000000     		ar = 159014.29720767m²