Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 33855 / 101750
↖ ↑ ↗
← S 70.011200°
W 87.014466°		 ← 104.41 m → S 70.011200°
W 87.011719°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 70.012139°
W 87.014466°		 ← 104.40 m →
10 902 m²		 S 70.012139°
W 87.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258296966552734 y=0.776294708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258296966552734 × 217)
    floor (0.258296966552734 × 131072)
    floor (33855.5)     		tx = 33855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776294708251953 × 217)
    floor (0.776294708251953 × 131072)
    floor (101750.5)     		ty = 101750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 33855 / 101750 ti = "17/33855/101750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/33855/101750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33855 ÷ 217
    33855 ÷ 131072     		x = 0.258293151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101750 ÷ 217
    101750 ÷ 131072     		y = 0.776290893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258293151855469 × 2 - 1) × π
    -0.483413696289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.51868892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776290893554688 × 2 - 1) × π
    -0.552581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73598688284071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51868892} λ = -1.51868892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73598688284071))-π/2
    2×atan(0.176226199828734)-π/2
    2×0.174435181550812-π/2
    0.348870363101623-1.57079632675     		φ = -1.22192596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51868892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.014466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22192596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.011200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33855 KachelY 101750 -1.51868892 -1.22192596 -87.014466 -70.011200
    Oben rechts KachelX + 1 33856 KachelY 101750 -1.51864098 -1.22192596 -87.011719 -70.011200
    Unten links KachelX 33855 KachelY + 1 101751 -1.51868892 -1.22194235 -87.014466 -70.012139
    Unten rechts KachelX + 1 33856 KachelY + 1 101751 -1.51864098 -1.22194235 -87.011719 -70.012139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22192596--1.22194235) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dl = 104.420689999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22192596--1.22194235) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dr = 104.420689999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51868892--1.51864098) × cos(-1.22192596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341836442291753 × 6371000     		do = 104.405648345857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51868892--1.51864098) × cos(-1.22194235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341821039588254 × 6371000     		du = 104.400943963743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22192596)-sin(-1.22194235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341836442291753-0.341821039588254)×R²
    abs(-1.51864098--1.51868892)×1.54027034981463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54027034981463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54027034981463e-05×40589641000000     		ar = 10901.864222812m²