Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3385 / 875
↖ ↑ ↗
← N 80.334887°
W 31.245117°		 ← 820.39 m → N 80.334887°
W 31.201172°		 →
↑
820.71 m
↓
↑
820.71 m
↓
N 80.327506°
W 31.245117°		 ← 821.01 m →
673 558 m²		 N 80.327506°
W 31.201172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41326904296875 y=0.10687255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41326904296875 × 213)
    floor (0.41326904296875 × 8192)
    floor (3385.5)     		tx = 3385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10687255859375 × 213)
    floor (0.10687255859375 × 8192)
    floor (875.5)     		ty = 875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3385 / 875 ti = "13/3385/875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3385/875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3385 ÷ 213
    3385 ÷ 8192     		x = 0.4132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 875 ÷ 213
    875 ÷ 8192     		y = 0.1068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54533017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1068115234375 × 2 - 1) × π
    0.786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47047605881921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54533017} λ = -0.54533017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47047605881921))-π/2
    2×atan(11.8280763716198)-π/2
    2×1.48645230174615-π/2
    2.9729046034923-1.57079632675     		φ = 1.40210828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54533017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.245117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40210828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.334887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3385 KachelY 875 -0.54533017 1.40210828 -31.245117 80.334887
    Oben rechts KachelX + 1 3386 KachelY 875 -0.54456318 1.40210828 -31.201172 80.334887
    Unten links KachelX 3385 KachelY + 1 876 -0.54533017 1.40197946 -31.245117 80.327506
    Unten rechts KachelX + 1 3386 KachelY + 1 876 -0.54456318 1.40197946 -31.201172 80.327506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40210828-1.40197946) × R
    0.000128820000000029 × 6371000     		dl = 820.712220000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40210828-1.40197946) × R
    0.000128820000000029 × 6371000     		dr = 820.712220000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54533017--0.54456318) × cos(1.40210828) × R
    0.000766989999999912 × 0.16788916274398 × 6371000     		do = 820.389267212081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54533017--0.54456318) × cos(1.40197946) × R
    0.000766989999999912 × 0.168016152863802 × 6371000     		du = 821.009803580489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40210828)-sin(1.40197946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16788916274398-0.168016152863802)×R²
    abs(-0.54456318--0.54533017)×0.00012699011982234×R²
    0.000766989999999912×0.00012699011982234×6371000²
    0.000766989999999912×0.00012699011982234×40589641000000     		ar = 673558.138579786m²